\documentclass{book}

\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage{parskip}
\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{babel}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{hyperref}

%math packages
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{bm}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{xcolor}

\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}

\usepackage{subfiles}

\newcommand{\T}{\mathcal{T}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\todo}{\color{red}Moet nog geschreven worden}
%\newtheorem{\profin}{\text{Pro}_{\N}(\text{fin})}
\newtheorem{theorem}{Stelling}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Gevolg}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Propositie}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definitie}
\newtheorem{example}[theorem]{Voorbeeld}
\newtheorem{remark}[theorem]{Opmerking}

\title{Gecondenseerde verzamelingen}
\author{Thomas van Maaren}

\begin{document}

\subfile{titlepage}
\tableofcontents

\chapter*{Introductie}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}Introductie}

Topologie vormt de kern van vele vakgebieden binnen de wiskunde. Wel heeft topologie zijn beperkingen. Dit is waarom gecondenseerde verzamelingen
zijn ontdekt. Gecondenseerde verzamelingen bieden ons een manier om topologieën
te vervangen en helpen ons als we bijvoorbeeld kijken naar abelse groepen
met een topologie.

In hoofdstuk één zullen wij het begrip van een product van een eindig aantal
topologische ruimten
gaan uitbreiden naar oneindige producten. We zullen zien dat er meerdere manieren
zijn om zo een product de definiëren. Wel zullen we zien dat sommige definities handiger
zijn dan anderen, omdat ze aan betere eigenschappen voldoen. Aan het einde van het
hoofdstuk zullen we ook de stelling van Tychonoff bewijzen.

In hoofdstuk twee zullen wij met behulp van het oneindige product uit hoofdstuk 1 de
categorie van pro-eindige verzamelingen introduceren. Ook geven we een karakterisatie van
pro-eindige verzamelingen.

De eerste twee hoofdstukken fungeren als voorbereiding op het derde hoofdstuk.
In het derde hoofdstuk zullen wij gecondenseerde verzamelingen gaan
introduceren. We zullen ook
laten zien hoe we een gecondenseerde verzameling vanuit een topologische ruimte kunnen
construeren. Omgekeerd zullen we ook zien hoe topologische ruimtes benaderd kunnen
worden
vanuit gecondenseerde verzamelingen. Aan het einde van het hoofdstuk zullen we gaan kijken
wat er gebeurt als we de topologie proberen te benaderen van een gecondenseerde
verzameling, die gecreëerd is vanuit een topologie. We zullen zien dat
deze benadering alleen goed gaat met sequentiele topologieën. Dit laatste is eigen werk.
In de bronnen wordt er namelijk alleen gezegd hoe goed de benadering gaat als
we kijken naar sequentiele topologieën. Er wordt niks gezegd over de benadering
bij
andere topologieën.

Voor deze scriptie is het aan te raden om een goed begrip te
hebben van topologie. Alle basis-feiten in de topologie zullen aangenomen worden
als algemene kennis. Daarnaast is het ook belangrijk om een goed begrip te hebben
van categorieëntheorie. Categorieën, functoren, morfismes tussen categorieën,
links- en rechtsgeadjugeerde functoren en equalizers 
zijn allemaal begrippen die we zullen beschouwen als
algemene kennis.

\section*{Conventies}
\addcontentsline{toc}{section}{\protect\numberline{}Conventies}

Hier geven we wat conventies die voor deze hele tekst zullen gelden:

\begin{itemize}
	\item $\N = \{0,1,2,\dots\}$
	\item 	Wat wij als pro-eindige verzamelingen beschouwen wordt doorgaands
		een lichte pro-eindige verzameling genoemd (zie opmerking \ref{EigenlijkLichtProEindig}).
	\item 	Wat wij als gecondenseerde verzamelingen beschouwen wordt doorgaands
		een lichte gecondenseerde verzameling genoemd (zie opmerking \ref{LightCond}).
	\item Als wij het product nemen van topologische ruimtes doen we dit altijd met de 
		producttopologie (zie definitie \ref{def:producttopology}), tenzij anders
		vermeld wordt.
\end{itemize}

\subfile{Product Topologie}
\subfile{Pro-eindige verzamelingen}
\subfile{Gecondenseerde verzamelingen}

\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{ArbProd}
  Ivan Khatchatourian,
  Arbitrary Products,
  \textit{Mat327 at the university of Toronto},
  2019,
  \url{https://www.math.utoronto.ca/~ivan/mat327/docs/notes/14-arbitrary\_products.pdf}
\bibitem{Nets}
  Manya Raman-Sundstrom,
  \textit{A pedagogical history of compactness},
  2010,
  beschikbaar via
  \url{https://arxiv.org/pdf/1006.4131v1}
\bibitem{Tycho}
  John Terilla,
  Tychonoff's Theorem,
  \textit{MATH 535 - General Topology, University of Illinois},
  2010,
  beschikbaar via \url{https://math.hunter.cuny.edu/mbenders/notes4.pdf}
\bibitem{ProFin}
	Hendrik Lenstra, \textit{Galois theory for schemes.}, Leiden, 2008,
	beschikbaar via
	\url{math.leidenuniv.nl/algebra/GSchemes.pdf.}
\bibitem{YouTube}
	Peter Sholze, Analytic Stacks, \textit{Institut des Hautes Études Scientifiques}, (2023), Aflevering 2 en 3, beschikbaar via \url{https://youtube.com/playlist?list=PLx5f8IelFRgGmu6gmL-Kf_Rl_6Mm7juZO&si=7KSweFsblyfUNKtD}
\bibitem{Yoneda}
	Emily Riehl, \textit{Category theory in context}, Courier Dover Publications, 2017, beschikbaar via \url{https://math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf}.
\bibitem{Condensed}
	Peter Scholze, \textit{Lectures on Condensed Mathematics}, University of Bonn, 
	2019, beschikbaar via \url{https://people.mpim-bonn.mpg.de/scholze/Condensed.pdf}
\bibitem{Seq}
	\textit{sequential topological space}, geraadpleegd op 1 juni 2024,
		beschikbaar via \url{https://ncatlab.org/nlab/show/sequential+topological+space}

\end{thebibliography}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}Bibliografie}


\end{document}