\documentclass[scriptie.tex]{subfiles}
\begin{document}
\chapter{De Producttopologie}

In dit hoofdstuk zullen wij het begrip van een product van topologische ruimten
uitbreiden naar een oneindig product.
Eerst zullen we twee equivalente
definities van het eindige product herhalen.
Als we deze twee definities uitbreiden naar een oneindige variant, zullen we
zien dat die twee
verschillende topologieën opleveren. 
Eén daarvan noemen wij de doostopologie. Zoals we
zullen zien is dit geen ``handige" definitie. Wat we hiermee bedoelen is dat de doostopologie vaak niet voldoet aan de eigenschappen van de componenten. De andere heet de producttopologie
en is wel ``handig". Dit betekent dat de producttopologie wel voldoet aan veel eigenschappen van de componenten. We zullen veel van deze eigenschappen bewijzen.
Deze zullen later wanneer we het hebben over pro-eindige
verzamelen erg nuttig zijn. 

De belangrijkste eigenschap waar het product aan voldoet is dat het product van
compacte ruimtes weer compact is. Dit is bewezen door Andrej Tychonov in 1930. Om dit te bewijzen
zullen wij het begrip van een net introduceren. Met behulp van een net kunnen wij
een heel eenvoudige karakterisatie geven van compacte ruimtes. Met behulp van het lemma
van Zorn kunnen we bewijzen dat als de componenten van een product voldoen aan
de karakterisatie, dat het product zelf ook moet voldoen aan de karakterisatie. Hieruit
volgt dan de stelling van Tychonov.

De definities van de producttopologie (zie definitie \ref{def:producttopology}) en die
van de doostopologie (zie definitie \ref{def:doostopologie}) komen uit \cite{ArbProd}.
De eigenschappen waar de product topologie aan voldoet komen ook uit \cite{ArbProd}, maar de bewijzen zijn bijna altijd volledig eigen werk.

Het bewijs van Tychonov is gebasseerd op \cite{Tycho}. Wel is het zo dat
er in deze bron op een aantal plekken wat grotere stappen gemaakt worden, zonder het verder toe
te lichten. Wij zullen daarentegen elke stap in detail belichten.

%alternatieve definitie

%equivalentie van definities

%eigenschappen

\section{Eindige producten}\label{sec:eindigeProd}

Voordat we kunnen kijken naar een algemene vorm van de producttopologie is het eerst handig om
te herhalen wat de producttopologie is voor eindige producten. We zullen deze topologie opnieuw definiëren en
wat eigenschappen dat het aan voldoet benoemen.
De producttopologie is als volgt gedefinieerd  .

\begin{definition}\label{def:eindigProd}
	Zij $(X,\T_X)$ en $(Y,\T_Y)$ twee topologische ruimten. Het product van $(X,\T_X)$ en $(Y,\T_Y)$ is gedefinieerd als $(X\times Y, \T_{X\times Y})$, waarbij:
	\[\T_{X\times Y} := \langle U\times V \mid U\in \T_X, V\in \T_Y\rangle.\]
\end{definition}

In woorden is de producttopologie de kleinste topologie zodat het cartesisch product van opens in $X$ met opens in $Y$
open zijn in $X\times Y$. We kunnen nu ook twee afbeeldingen $\pi_1: X\times Y \to X$ en $\pi_2: X\times Y \to Y$
definiëren als $\pi_1(x,y) = x$ en $\pi_2(x,y)=y$. Zulke functies worden vaak
projecties genoemd. Het blijkt dat we de
producttopologie ook kunnen definiëren in termen van deze projectie functies.

\begin{lemma}\label{lemma:eqprod}
	Zij $(X,\T_X)$ en $(Y,\T_Y)$ twee topologische
	ruimten. Dan is het product $(X\times Y,\T_{X\times Y})$ de kleinste topologie, zodat
	$\pi_1:X\times Y\to X$ en
	$\pi_2:X\times Y\to Y$ continu zijn.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Stel dat $\T'_{X\times Y}$ de kleinste topologie is zodat $\pi_1$ en $\pi_2$ continu zijn.
	Stel dat $U\in \T_X$ en $V\in \T_Y$. Dan geldt er dat
	$U\times V = \pi_1^{-1}(U)\cap\pi_2^{-1}(V)$. Aangezien $\pi_1$ en $\pi_2$ continu zijn geldt er
	dat $U\times V \in \T'_{X\times Y}$. Omdat $\T_{X\times Y}$ de kleinste topologie
	is zodanig dat $U\times V$ open is voor alle $U$ en $V$, zien we dat
	$\T_{X\times Y}\subset \T'_{X\times Y}$. We zien voor alle $U\in \T_X$ dat $\pi_1^{-1}(U) = U\times Y \in \T_{X\times Y}$  en voor alle $V\in \T_Y$ dat $\pi_2^{-1}(V) = X\times V \in \T_{X\times Y}$, dus $\pi_1$ en $\pi_2$ zijn continu onder de topologie van $\T_{X\times Y}$. Hieruit volgt dat $\T'_{X\times Y}\subset \T_{X\times Y}$. We concluderen dat $\T_{X\times Y} = \T'_{X\times Y}$.
\end{proof}

\begin{remark}\label{ref:nieteqprod}
	Wanner we kijken naar oneindige producten zullen we zien dat lemma \ref{lemma:eqprod} niet waar is.
	Dit zal er toe leiden dat we verschillende topologie\"en kunnen definiëren op het cartesisch product.
\end{remark}

De topologie die we net gedefinieerd hebben is een erg ``handige" definitie, aangezien het veel van de
eigenschappen van $X$ en $Y$ behoudt. Stel bijvoorbeeld dat $X$ en $Y$ Hausdorff zijn, dan is $X\times Y$ dat ook. Hetzelfde geldt voor eerst-aftelbaarheid, twee-aftelbaarheid, metriseerbaarheid en compactheid.

\section{Doostopologie}

We zullen nu een eerste poging doen om de definitie van de producttopologie
die we in sectie \ref{sec:eindigeProd} hebben gezien uit te breiden naar oneindige producten.
Hierbij hebben we een collectie $(X_i, \T_{X_i})_{i\in I}$ van topologie\"en. Het cartesisch product
is gedefinieerd als

\[\prod_{i\in I} X_i := \{x: I\to \sqcup_{i\in I} X_i \text{ waarbij }x_i\in X_i \text{ voor alle }i\in I\}.\]

Nu kunnen we een topologie definiëren op deze verzameling.

\begin{definition}\label{def:doostopologie}\cite[Definition 7.1]{ArbProd}
	Zij $(X_i, \T_{X_i})_{i\in I}$ een collectie topologie\"en. Dan definiëren we de \textbf{doostopologie}
	als $(X,\T_X)$, waarbij $X=\prod_{i\in I} X_i$ en

	\[\T_X := \left\langle \prod_{i\in I} U_i \mid U_i \in \T_{X_i} \text{ voor alle } i\in I\right\rangle.\]
\end{definition}

Merk op dat deze definitie overeenkomt met definitie \ref{def:eindigProd}, behalve dat we nu
gebruikmaken van arbitraire producten. Het is daarom wellicht opvallend dat we deze topologie een doostopologie
noemen in plaats van de producttopologie. Dit komt omdat hoewel de definities heel erg op elkaar lijken, de
eigenschappen tamelijk van elkaar verschillen. We zeiden aan het eind van sectie \ref{sec:eindigeProd} dat de
producttopologie ``handig" was, aangezien het veel eigenschappen behoudt. Dit ligt bij de doostopologie
heel erg anders en daarom heeft het een andere benaming.

\begin{example}[Componentsgewijze continuïteit]\cite[p. 11]{ArbProd}\label{secComponentDoos}

Als voorbeeld zullen we nu een functie definiëren waarbij alle componenten continu zijn. In de producttopologie
weten we dat dit betekent dat de functie zelf ook continu is. Alleen zullen we nu laten zien dat in de doos
topologie dit niet noodzakelijkerwijs het geval is. Definieer

\[f: \R \to \prod_{i\in \N} \R \ \ f_i(x) = x  \text{ voor alle }i\in \N.\]

Merk op dat $f_i$ voor alle $i\in \N$ de identiteit is, dus zijn alle componenten continu. We zien dat
$\prod_{n\in \N} (-2^{-n},2^{-n})$ open is in de doostopologie. Merk op dat

\[f^{-1}\left(\prod_{i\in \N} (-2^{-n},2^{-n})\right) = \bigcap_{n\in \N} (-2^{-n},2^{-n}) = \{0\},\]

en dus is $f$ niet continu. 
\end{example}

\begin{example}[Compactheid]\label{secCompactDoos}

Nog een eigenschap dat niet behouden blijft is compactheid. De eenvoudigste manier om dit te zien is door $X$ te
kiezen als een eindige verzameling met meer dan \'e\'en element. Als we op
$X$ de discrete topologie nemen weten we dat $X$ compact is. Als we nu de doostopologie nemen op $\prod_{n\in \N} X$ krijgen we opnieuw de discrete topologie, maar nu is $\prod_{n\in \N} X$ niet eindig, dus is het niet compact.
\end{example}

%Naast dat componentsgewijze continu\"iteit niet continu\"iteit impliceert in deze topologie, zijn er nog veel
%meer manieren waarop eigenschappen niet behouden blijven. Bijvoorbeeld eerst-aftelbaar is hier een belangrijk
%voorbeeld van. Hieruit volgt dat meetriseerbaarheid en twee-aftelbaar ook niet behouden blijven. Al met al zien we dus dat de Doos
%topologie geen handige topologie is. Vandaar dat we nu een andere topologie zullen defini\"eren.

\section{Producttopologie}

Zoals in opmerking \ref{ref:nieteqprod} gezegd werd geldt lemma \ref{lemma:eqprod} niet met oneindige producten.
Dit zal ons de mogelijkheid geven om een andere topologie te definiëren op het oneindig cartesisch product.
We kunnen net als bij eindige producten een projectie functie $\pi_i$ voor alle $i\in I$ definiëren als

\[\pi_i : \prod_{j\in I}X_j \to X_i \ \ \pi_i(x) = x_i.\]

Dan definiëren we de producttopologie als volgt:

\begin{definition}\cite[Definition 7.2]{ArbProd}\label{def:producttopology} Zij $(X_i,\T_{X_I})_{i\in I}$ een collectie topologie\"en. Dan definiëren we de
\textbf{producttopologie} als $(X,\T_X)$ waarbij $X=\prod_{i\in I}X_i$
	en $\mathcal{T}_X$ de 
kleinste topologie is zodanig dat $\pi_i$ continu is voor alle $i\in I$.
\end{definition}

In sectie \ref{sec:eindigeProd} konden we nog zeggen dat deze definitie equivalent is aan de doostopologie. Dit
bewezen we in lemma \ref{lemma:eqprod} door onder andere te argumenteren dat $U\times V = \pi_1^{-1}(U) \cap \pi_2^{-1}(V)$.
Dit argument kunnen we nu niet meer maken, aangezien we nu zouden
krijgen dat $\prod_{i\in I} U_i = \bigcap_{i\in I} \pi_i^{-1}(U_i)$. Merk op dat
we nu een oneindige doorsnede nemen van verzamelingen in de producttopologie.
Aangezien oneindige doorsnedes van opens niet noodzakelijk open zijn hebben we geen
garantie dat $\prod_{i\in I} U_i$ open is in de producttopologie. 

Nu zullen we een basis vinden
van deze topologie. Hierdoor zal het makkelijker zijn om het verschil te zien tussen de producttopologie en
de doostopologie.

\begin{lemma}\cite[Definition 7.3]{ArbProd}\label{basisProduct}
	De producttopologie heeft de volgende basis:
	\begin{align}\left\{\prod_{i\in I}U_i \mid U_j \in \T_{X_j} \text{ voor alle }j\in J, U_j = X_j \text{ voor alle }i\in I\backslash J \mid \text{ een eindige }J\subset I\right\}.\label{productBasis}\end{align}
	In woorden is deze basis alle producten van opens uit $X_i$ voor alle $i$, waarbij maar een eindige hoeveelheid van
	die opens ongelijk is aan $X_i$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Stel dat $U$ element is van \eqref{productBasis}. Dan weten we dat er een eindige $J$ is zodanig dat
	$U_j\in \T_{X_j}$ voor alle $j\in J$ en $U_i=X_i$ voor alle $i \in I\backslash J$. We zien dan dat
	$U = \bigcap_{j\in J} \pi_j^{-1}(U_j)$. Per definitie zijn $\pi_j$ voor alle $j\in J$ continu en
	aangezien $J$ eindig is, is $U$ open. We zien dus dat de topologie
	gegenereerd door \eqref{productBasis} kleiner of gelijk is aan de producttopologie.

	Voor alle $j\in I$ en $U_j \in \T_{X_j}$ geldt er dat $\pi_j^{-1}(U_j) = \Pi_{i\in I} U_i$ waarbij $J=\{j\}$ en $U_i = X_i$ voor alle $i\neq j$. Dus zien we dat $\pi_i$ continu is in de topologie gegenereerd door \eqref{productBasis}. Aangezien de producttopologie de kleinste topologie is zodanig dat $\pi_i$ voor alle $i\in I$ continu zijn is de producttopologie kleiner of gelijk aan de topologie gegenereerd door \eqref{productBasis}.

	We concluderen dat de twee topologie\"en gelijk zijn.
\end{proof}
\begin{remark}
Door lemma \ref{basisProduct} zien we dat voor een open $U$ in $\prod_{i \in I} X_i$ geldt dat er een eindige
$J\subset I$ bestaat zodat $\pi_i(U) = X_i$ voor alle $i\in I\backslash J$. Een gevolg hiervan is dat het product
	van discrete topologieën niet altijd een discrete topologie is.
\end{remark}

We zullen nu zien dat de producttopologie ``handiger" $ $ is dan de
doostopologie. Bij de doostopologie hadden we bijvoorbeeld het probleem dat
componentsgewijze continuïteit geen continuïteit impliceert (zie voorbeeld \ref{secComponentDoos}) en dat
compactheid niet behouden blijft (zie voorbeeld \ref{secCompactDoos}). %TODO: Verander behouden
Bij de Producttopologie is dit anders. We zullen nu bewijzen dat componentsgewijze continuïteit wel continuïteit impliceert en in sectie \ref{secTychonov} zullen we zien dat compactheid ook behouden blijft.
\begin{lemma}\cite[Proposition 4.14]{ArbProd}\label{CompContImpliesCont}
	Zij $(X,\T_X)$ een topologische ruimte en $\{(Y_i,\T_{Y_i})\}_{i\in I}$
	een collectie topologische ruimtes. Als 
	$f: X \to$
	$ \prod_{i\in I} Y_i$
	componentsgewijs continu is, dan is $f$ ook continu.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Zij $U$ een open in $\prod_{i\in I} Y_i$. Dan kunnen we wegens lemma \ref{basisProduct} zonder verlies 
	van algemeenheid zeggen dat $U= \prod_{i \in I} U_i$ waarbij er een eindige $J\subset I$ zodat 
	$U_j$ open is in $Y_j$ voor alle $j\in J$ en $U_i = Y_i$ voor alle $i\in J\backslash I$. Dit betekent
	ook dat $f_i^{-1}(U_i) = X$ voor alle $i\in J\backslash I$.
	We zien dan
	dat 

	\begin{align}f^{-1}(U) = f^{-1}\left(\prod_{i \in I} U_i\right)&=\bigcap_{i\in I} (f_i)^{-1}(U_i)
%	=\left(\bigcap_{j\in J} (\pi_j \circ f)^{-1}(U_j) \right)\bigcap\left(\bigcap_{i\in I\backslash J} (\pi_i \circ f)^{-1}(Y_j) \right)\\
	%&=\left(\bigcap_{j\in J} (\pi_j \circ f)^{-1}(U_j) \right)\bigcap X = 
	=\bigcap_{j\in J} (f_j)^{-1}(U_j).\end{align}

Omdat $U_j$ open is en $f_j$ continu is zien we dat $(f_j)^{-1}(U_j)$ open is voor alle
$j\in J$. Om $J$ een eindige verzameling is, concluderen we dat $f^{-1}(U)$ open is.
\end{proof}

%Nog een manier waarop de doostopologie niet heel ``handig" is, is dat het niet de eigenschap eerst-aftelbaar
%behoudt. Stel namelijk dat we de doostopologie nemen op $X= \prod_{n\in \N} \R$. We zullen nu laten zien dat
%$X$ niet eers-aftelbaar is.

%\begin{theorem}
%	Zij $X = \prod_{n\in \N} \R$ met de doostopologie dan is $X$ niet eerst-aftelbaar.
%\end{theorem}
%\begin{proof}
%	Bekijk het punt $0\in X$ waarbij $0_n=0$ voor alle $n\in \N$. Stel nu in het ongerijmde dat er een 
%	aftelbare collectie opens $U_{n\in \N}\subset X$ die een basis vorm rond 0. Aangezien $\{
%\end{proof}

\subsection{Aftelbare producten}

We zagen net dat de producttopologie een handige definitie is, omdat veel eigenschappen behouden
blijven. Als we nu kijken naar producten van de vorm

\[\prod_{n\in \N} X_n,\]

dan zal het mogelijk zijn om nog meer eigenschappen te bewijzen. We zullen
zien dat een aftelbaar product van metriseerbare ruimtes, metriseerbaar is.


\begin{theorem}\cite[Proposition 4.8]{ArbProd}
	Zij $\{X_n\}_{n\in \N}$ een aftelbare collectie van metriseerbare ruimtes, dan
	is $\prod_{n\in \N}X_n$ ook metriseerbaar.\label{metriseerbaar}
\end{theorem}
\begin{proof}
	We zullen gegeven een metriek $d_n$ op $X_n$
	voor alle $n\in \N$ een metriek $d$ op $\prod_{n\in \N}X_n$ definiëren. Dit doen
	op een soortgelijke manier als in \cite[Proposition 4.8]{ArbProd}:

	\[d(x,y) = \sup\{2^{-n}\overline{d_n}(x,y)\mid n\in \N\},\]
	waarbij
	\[\overline{d_n}(x,y) = \min\{d_n(x,y),1\}.\]

	We zullen eerst bewijzen dat $\pi_m$ continu is voor alle $m\in \N$. Zij $U$ een
	open in $X_m$. We willen nu bewijzen dat $\pi_m^{-1}(U)$ open is in $X$. Zij
	$x\in \pi_m^{-1}(U)$, dan zien zien we dat $x_m\in U$, dus bestaat er een
	$\delta>0$ zodanig dat $B_m(x_m,\delta)\subset U$. We zien nu dat

	\begin{align*}
		B(x,2^{-m}\delta) &= \{y\in X \mid \sup\{2^{-n}\overline{d}(x_n,y_n)\mid n\in \N\}<2^{-m}\delta\}\\
		&\subset  \{y\in X \mid d_m(x_m,y_m)<\delta\}\\
		&\subset \{y\in X \mid y_m \in B_m(x_m,\delta)\}\\
		&\subset \pi_m^{-1}(U).
	\end{align*}

	en dus zien we dat $\pi_m$ voor alle $m\in \N$ continu is.

	Omgekeerd zien we ook dat als $\pi_m$ continu is voor alle $m\in \N$ dat $B(x,\delta)$ open is voor alle $x\in X$ en $\delta >0$. Zij $y\in B(x,\delta)$ en $c>0$ zodat
	$B(y,c)\subset B(x,\delta)$. We zien dat 

	\begin{align*}
		B(x,\delta) &\supset \overline{B(y,c/2)}\\
		&= \prod_{n\in \N}\{z_n\in X_n \mid 2^{-n}\overline{d}(z_n,y_n)\leq c/2\}\\
		&=  \bigcap_{n\in \N}\pi_n^{-1}\left(\{z_n\in X_n \mid 2^{-n}\overline{d}(z_n,y_n)\leq c/2\}\right).
		\intertext{Als $c/2>2^{-n}$ dan zien we dat $2^n\overline{d}(z_n,y_n)\leq c/2$ voor alle $z_n\in X_n$, dus}
		&=  \bigcap_{n\in \N,2^{-n}\geq c/2}\pi_n^{-1}\left(\{z_n\in X_n \mid 2^{-n}\overline{d}(z_n,y_n)\leq c/2\}\right)\\
		&\supset \bigcap_{n\in \N,2^{-n}\geq c/2}\pi_n^{-1}\left(B_n(y_n,2^nc/2)\right).
	\end{align*}
	Aangezien $c>0$ is een eindige hoevelheid aan $n\in \N$, zodat $2^{-n}\geq c/2$.
	We zien dus dat elke punt in $B(x,\delta)$ een open omgeving heeft, dus is $B(x,\delta)$ open in de producttopologie.
\end{proof}

\section{Stelling van Tychonov}\label{secTychonov}

De stelling van Tychonov luidt als volgt:

\begin{theorem}
	Zij $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie compacte topologie\"en. Dan is
	$\prod_{i\in I} X_i$ met de producttopologie ook compact.
\end{theorem}

Voor eindige producten van compacte topologische ruimten weten we al dat die
compact zijn. De stelling van Tychonov zegt dat voor oneindige producten
hetzelfde geldt. Het bewijs maakt gebruikt van het keuzeaxioma. Dit is noodzakelijk,
aangezien het keuzeaxioma ook uit de stelling van Tychonov volgt \cite[Theorem 9]{Tycho}. We zullen
eerst het lemma van Zorn benoemen. Daarna zullen we
het concept van een net introduceren. Dit kan gezien worden als een veralgemenisering
van een rij. Hierna zullen wij ook accumulatiepunten introduceren en wat stellingen
hierover bewijzen. Wat blijkt is dat we compacte ruimtes kunnen karakteriseren
vanuit netten en hun accumulatiepunten. Dit zal ervoor zorgen dat de we de stelling
van Tychonov kunnen bewijzen.

\subsection{Het keuzeaxioma en het lemma van Zorn}

Het keuzeaxioma luidt als volgt:

 Voor alle collecties niet-lege verzamelingen $\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ bestaat er een functie $f:\Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ zodanig dat $f(\lambda)\in X_\lambda$ voor
	alle $\lambda \in \Lambda$.\cite[p. 2]{Tycho}

Voordat we kunnen kijken naar het lemma van Zorn moeten we eerst definiëren wat het betekent dat een 
verzamelingen partiële en totale ordening heeft.

\begin{definition}\cite[p. 2]{Tycho}
	Een paar $(P,\leq)$ waarbij $P$ een verzameling is en $\leq$ een relatie, is een \textbf{partiële ordening} als het voor alle $x,y,z\in P$ voldoet aan:

\begin{itemize}
\item \textbf{Reflexiviteit:} $x\leq x$.
\item \textbf{Antisymmetrie:} Als $x\leq y$ en $y\leq x$ dan $x= y$.
\item \textbf{Transitiviteit:} Als $x\leq y$ en $y\leq z$ dan $x\leq z$.
\end{itemize}
\end{definition}

Een verzameling met een totale ordening heeft nog een extra eigenschap.

\begin{definition}\cite[p. 2]{Tycho}
	Een verzameling met partiële ordening $(T,\leq)$ heeft een \textbf{totale ordening} als voor alle $x,y\in T$ geldt dat $x\leq y$ of $y\leq x$.
\end{definition}

%TODO voorbeelden

Voor een verzameling met partiële ordening $P$ en een deelverzameling $D\subset P$ zeggen
we dat $D$ een \textbf{bovengrens} heeft als er een $b\in P$ bestaat zodat $d\leq b$ voor alle
$d\in D$. Een \textbf{maximum} van $P$ is een element $m\in P$ waarbij voor alle $p\in P$
geldt dat als $m\leq p$ dat $p=m$.\cite[p. 2]{Tycho}

\begin{lemma}[Zorn]\cite[p. 2]{Tycho}
Stel dat $(P,\leq)$ een niet-lege verzameling is met partiële ordening. Als voor elke deelverzameling met totale ordening $T\subset P$ geldt dat het begrensd is, dan heeft
$P$ een maximum.
\end{lemma}


\subsection{Karakterisatie van compacte ruimtes}

Voordat we Tychonov zullen bewijzen geven we eerst een karakterisatie
van compacte ruimtes. In de topologie hebben we al veel karakterisaties gezien.
In $\mathbb{R}^n$ weten we bijvoorbeeld dat een verzameling compact is dan en
slechts dan als het gesloten en begrensd is. Voor metrische ruimten weten we dat een
verzameling compact is dan en slechts dan als het rijcompact is. Deze karakterisaties
houden helaas geen stand als we kijken naar algemene compacte verzamelingen. Hiervoor hebben
we een algemener begrip van rijen nodig, namelijk een net.

Bij een rij zijn de indices altijd natuurlijke getallen. Bij een net kan dit een willekeurige verzameling
zijn. Wel is het belangrijk dat het een gerichte verzameling is.


%TODO: Zoek een bron op hiervoor 
\begin{definition}\cite[Definition 4.2]{Nets}
	Een \textbf{gerichte verzameling} $(T, \leq)$ is een partiële ordening met de eigenschap dat als
	$a,b\in T$, dat er een $c \in T$ bestaat
	zodanig dat $a \leq c$ en $b \leq c$. In andere woorden: Elke eindige deelverzameling is begrensd.
\end{definition}

Dan kunnen we nu een net definiëren.

%TODO: Zoek een bron op hiervoor
\begin{definition}\cite[Definition 4.3]{Nets}
	Stel dat $X$ een topologische ruimte is en $\Lambda$ een gerichte verzameling. Dan is een \textbf{net} een functie $x_\bullet : \Lambda \to X$. Dit wordt ook wel genoteerd als $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$.
\end{definition}

Als laatste zullen we ook accumulatiepunten introduceren.

\begin{definition}[Accumulatiepunt]\cite[Definition 2]{Tycho}
	Stel dat $X$ een topologische ruimte is en $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ een net. We zeggen
	dat $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ accumulatiepunt $a$ heeft dan en slechts dan als
	voor alle open omgevingen $U$ van $a$  en $\mu \in \Lambda$ er een $\lambda\geq \mu$ bestaat zodat $x_\lambda \in U$
\end{definition}

We zullen
nu zien dat een topologische ruimte compact is dan en slechts dan als voor elke net
geldt dat het een accumulatiepunt heeft.

\begin{theorem}\label{compactIsAccumulatie}\cite[Theorem 8]{Tycho}
	Zij $X$ een topologische ruimte, dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X$ is compact
		\item Alle netten in $X$ hebben een accumulatiepunt.
	\end{enumerate}
	\end{theorem}
\begin{proof}\ 
	
	
	\begin{description}
	\item[(i) $\implies$ (ii):] Stel eerst dat $X$ compact is en $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ een net in $X$ is. Definieer nu
	
	$$A_\mu := \overline{\{x_\lambda | \lambda \geq \mu\}} \text{ en } A:= \bigcap_{\mu\in \Lambda} A_\mu$$

	We zullen nu laten zien dat alle punten in $A$ accumulatiepunten zijn.
	Stel namelijk dat $a\in A$. Dan geldt er voor alle omgevingen $U$ van
	$a$ en alle $\mu \in \Lambda$ dat $U\cap \{x_\lambda | \lambda \geq
	\mu\} \neq \emptyset$, oftewel er is een $\lambda \geq \mu$, zodanig dat
	$x_\lambda \in U$. Dit is precies de definitie van een accumulatiepunt
	en dus is $A$ een verzameling accumulatiepunten. Nu moeten we alleen
	nog laten zien dat $A$ niet leeg kan zijn. Stel dat $A= \emptyset$, dan
	zien we dat $X = X\backslash A = \bigcup_{\mu \in \Lambda} X\backslash
			A_\mu$ en dus is $\{X\backslash A_\mu\}_{\mu\in \Lambda}$ een open dekking van $X$. Uit de
	definitie van compactheid volgt dat dat er een eindige $M\subset \Lambda$ 
	bestaat zodat $\bigcup_{\mu \in M} X\backslash A_\mu = X$. Dit
	betekent ook dat $\bigcap_{\mu\in M} A_\mu = \emptyset$. Aangezien
	$\Lambda$ een gerichte verzameling is en $M$ eindig is bestaat er een
	$\kappa \in \Lambda$ zodanig dat $\kappa \geq \mu$ voor alle $\mu \in M$
	. Dit betekent dat $A_\kappa  \subset A_\mu$ voor alle $\mu \in M$ en dus
	$\emptyset \neq A_k \subset \bigcap_{\mu \in \Lambda}A_\mu$. Dit is een
	tegenspraak met dat $\bigcap_{\mu\in M} A_\mu = \emptyset$.

	\item[$\neg$(i) $\implies$ $\neg$(ii):] Stel nu dat $X$ niet compact is. Dan bestaat er een open dekking $\mathcal{U}$ die geen eindige deelcollectie heeft die heel X dekt. Als we kijken naar alle eindige deelcollecties van $\mathcal{U}$ kunnen we dit een ordening geven. We kijken dan naar de volgende geordende verzameling:
	\[\Lambda := \left(\{\mathcal{V}\subset \mathcal{U} \mid \mathcal{V} \text{ is eindig }\},\subset \right).\]
	Merk op dat dat deze geordende verzameling ook een gerichte verzameling
	is. Als $\mathcal{V}\in \Lambda$ en $\mathcal{W}\in \Lambda$ dan is $\mathcal{V}\cup \mathcal{W}$ ook
	eindig en een bovengrens van $\mathcal{V}$ en $\mathcal{W}$. We kunnen nu voor iedere eindige
	$\mathcal{V}\in \Lambda$ een $x_{\mathcal{V}} \in X$ vinden zodanig dat $x_{\mathcal{V}} \notin
	\bigcup_{U \in \mathcal{V}} U$. We zien dan dat
	$(x_{\mathcal{V}})_{\mathcal{V}\in \Lambda}$ een net is in $X$. We
	laten nu zien dat het geen accumulatiepunt heeft. Stel namelijk dat $x
	\in X$ en $U\in \mathcal{U}$, zodat $x\in U$. We zien dat voor alle
	$\mathcal{V}\in \Lambda$ met $\mathcal{V}\supset \{U\}$ geldt dat
	$x_{\mathcal{V}} \notin U$, dus is $x$ geen accumulatiepunt.
	\end{description}
\end{proof}

\subsection{Extra beweringen over netten}

Om de stelling van Tychonov te kunnen bewijzen moeten er nog wat extra uitspraken gedaan worden over netten.

Net als een rij kan een net convergeren en kunnen er deelnetten genomen worden.

%Zoek hier een bron voor op
\begin{definition} [Convergentie van een net] Zij $X$ een topologische ruimte.
	Een net $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ in $X$ convergeert naar
	$x$ dan en slechts als voor elke open omgeving $U$ van $x$ er een $\mu \in \Lambda$ bestaat
	zodanig dat $x_\lambda \in U$ voor alle $\lambda \in\Lambda$ met $\lambda \geq \mu$.
\end{definition}

\begin{definition}[Deelnet]\cite[Definition 3]{Tycho} Zij $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ een net.
	Zij $\mathcal{D}$ een gerichte verzameling en $\phi: \mathcal{D}\to
	\Lambda$ een functie met de eigenschap dat als $a,b \in \mathcal{D}$ en
	$a\leq b$ dat $\phi(a)\leq \phi(b)$ \textbf{(monotonie)} en dat voor elke $\mu
	\in \Lambda$ er een $c\in \mathcal{D}$ bestaat zodat $\phi(c)\geq \mu$
	\textbf{(finaliteit)}. Dan is $\left(x_{\phi(\kappa)}\right)_{\kappa \in \mathcal{D}}$ een deelnet van
	$\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in \Lambda}$.
\end{definition}

Nu zullen we wat lemma's bewijzen die niet in \cite{Tycho} genoemd worden.

We zullen eerst bewijzen dat voor een accumulatiepunt van een net er een deelnet is die naar dat punt convergeert.
Dit zal erg handig blijken voor het bewijs van Tychonov

\begin{lemma}\label{AccIsConv}
	Zij $X$ een topologische ruimte en $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ een net in $X$. Dan zijn
	de volgende uitspraken equivalent:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $a$ is een accumulatiepunt van $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$.
		\item $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ heeft een deelnet die naar $a$ convergeert.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}\ 

	\begin{description}
	\item[(i) $\implies$ (ii): ] Stel dat $a$ een accumulatiepunt is van $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$. We definiëren nu de volgende
	gerichte verzameling:
	\[\mathcal{D} := \left(\{(\lambda ,U) \mid  U \text{ is een open omgeving van } a \text{ en } x_\lambda \in U,\lambda\in \Lambda\} ,\leq\right)\]
	hierbij definiëren we $\leq$ als
	\[(\lambda, U) \leq (\mu, V) \text{ dan en slechts dan als } \lambda\leq \mu \text{ en } U\supset V\]
	$\mathcal{D}$ is een gerichte verzameling. Stel namelijk dat $(\lambda,
			U),(\mu, V)\in \mathcal{D}$. We weten dan dat
	$W:=U\cap V$ ook een open omgeving is van $a$. Doordat $\Lambda$ een
	gerichte verzameling is bestaat er $\kappa \in \Lambda$ zodanig dat
	$\kappa \geq \lambda,\mu$. Door de definitie van een accumulatiepunt
	bestaat er een $\nu \geq \kappa'$ zodanig dat $x_\nu \in W$ en dus zien
	we dat $(\nu,W)\in \mathcal{D}$ en $(\nu, W) \geq (\lambda, U), (\mu, V)$.

	Als we nu $\phi: \mathcal{D} \to \Lambda$ definiëren als $\phi(\lambda,U)= \lambda$ dan zien we dat $\phi$ monotoon is en finaal dus is $(x_{\phi(\lambda,U)})_{(\lambda,U)\in \mathcal{D}}$ een deelnet van $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$. Voor alle open omgevingen $U\ni a$ weten we dat er een $\mu\in \Lambda$
	bestaat zodat $x_\mu \in U$. Voor alle $(\lambda,V)\in \mathcal{D}$
			met $(\lambda,V)\geq  (\mu, U)$ zien we dat $x_{\phi(\lambda,V)}= x_\lambda \in V\subset U$, dus convergeert $(x_{\phi(\lambda,U)})_{(\lambda,U)\in \mathcal{D}}$ naar a.

\item[(ii) $\implies$ (i): ] Stel nu andersom dat $(x_{\phi(\kappa)})_{\kappa\in \mathcal{D}}$ een deelnet is die naar $a$ convergeert.
	Zij $U$ een open omgevingen en $\mu \in \Lambda$. Door de co-finaliteit van $\phi$ bestaat er
	een $\kappa \in \mathcal{D}$ zodat $\phi(\kappa) \geq \mu$ en door de convergentie van
		$(x_{\phi(\kappa)})_{\kappa\in \mathcal{D}}$ bestaat er een $\kappa'\in \mathcal{D}$ zodat
	als $\lambda \geq \kappa'$ dat $x_{\phi(\lambda)}\in U$. Doordat $\mathcal{D}$ een gerichte
	verzameling is bestaat er een $\lambda \geq \kappa',\kappa$, dus geldt er dat $
	x_{\phi(\lambda)}\in U$ en vanwege de monotonie van $\phi$ zien we dat $\phi(\lambda) \geq \phi(\kappa) \geq \mu$, dus is $a$ een accumulatiepunt van $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$.
	\end{description}
\end{proof}

We weten dat als een rij convergeert, dat alle deelrijen naar hetzelfde punt convergeren. Nu zullen we zien
dat als een net convergeert, dat alle deelnetten naar hetzelfde punt convergeren.

\begin{lemma}\label{DeelZelfde}
	Zij $X$ een topologische ruimte en $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$
	een net die naar $a\in X$ convergeert. Zij $(x_{\phi(\mu)})_{\mu \in \mathcal{D}}$ een deelnet, dan convergeert $(x_{\phi(\mu)})_{\mu \in \mathcal{D}}$ ook naar $a$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Zij $U$ een open omgeving van $a$. We weten dat er een $\mu'\in \Lambda$ bestaat zodanig dat voor alle
	$\lambda \geq \mu'$ geldt dat $x_\lambda\in U$. Door de finaliteit
	$\phi$ weten we dat er een $\mu\in \mathcal{D}$ bestaat zodanig dat
	$\phi(\mu) \geq \mu'$. Voor alle $\kappa \geq \mu$ zien we door de
	monotonie van $\phi$ dat $\phi(\kappa) \geq \phi(\mu) \geq \mu'$,
	dus geldt er dat $x_{\phi(\kappa)}\in U$.
\end{proof}

Net als bij rijen geldt er dat componentsgewijze convergentie equivalent is
aan convergentie.

\begin{lemma}\label{CompConvNet}
	Zij $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie topologische ruimtes,
	$X=\prod_{i\in I} X_i$ en $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ een net in $X$.
	Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ convergeert naar $a\in X$
		\item Voor alle $k\in I$ geldt dat $\{x_{\lambda}|_{\{k\}}\}_{\lambda\in \Lambda}$ convergeert naar $a|_{\{k\}}$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}\ 
	\begin{description}
	\item[(i) $\implies$ (ii)]
	Stel dat (i) waar is. Zij $k\in I$ en $U_k$ een open omgeving van
	$a|_{k}$. Definieer $U_i = X_i$ als $i\neq k$, dan is $U:=\prod_{i\in I} U_i$ een open omgeving van $a$.
	Vanwege (i) bestaat er een $\mu \in \Lambda$ zodanig dat voor alle $\lambda\geq \mu$ geldt dat
	$x_\lambda \in U$, dus $x_\lambda|_{\{k\}}\in U_k$.

	\item[(ii) $\implies$ (i)]
	Stel nu dat (ii) waar is. Stel dat $U$ een open omgeving is van $a$. Door lemma \ref{basisProduct} kunnen
	we zonder verlies van algemeenheid zeggen dat $U$ element is van
			\eqref{productBasis}. We zullen nu $J$ uit \eqref{productBasis} gebruiken. Door (ii) weten we dat voor alle $j\in J$ geldt dat er een $\mu_j\in \Lambda$ bestaat, zodat
	voor alle $\lambda\geq \mu_j$ geldt dat $x_\lambda|_{\{j\}} \in U_i$. Aangezien $J$ eindig is bestaat
	en omdat $\Lambda$ een gerichte verzameling is bestaat er een $\mu \in \Lambda$ zodat $\mu\geq \mu_j$
	voor alle $j\in J$. Dus voor alle $\lambda \geq \mu$ zien we dat $x_\lambda|_J \in \prod_{j\in J}U_j$.
	Aangezien $U_i=X_i$ voor alle $i\in I\backslash J$ zien we dat $x_\lambda\in U$.
	\end{description}
\end{proof}


\subsection{Bewijs van Tychonov}

In deze hele sectie is $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie compacte topologische
ruimten, $X=\prod_{i\in I} X_i$ en $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ een net in $X$. Ook
definiëren we de volgende partieel geordende verzameling:


	$$P:= \left(\left\{(a,J) \mid a \text{ is een accumulatiepunt van het net }(x_\lambda|_J)_{\lambda \in \Lambda} \mid J \subset I\right\}, \leq\right)$$

	Hierbij zeggen we dat $(a, J)\leq (a', J')$ dan en slechts dan als $J\subset J'$ en $a'|_J = a$.

	Nu zullen we de stelling van Tychonov bewijzen op dezelfde manier als
	in \cite[p. 6]{Tycho}, alleen zullen wij het bewijs voorzien van meer toelichting
	en het opsplitsen in verschillende lemma's.

\begin{lemma}\label{Tbovengrens}
	Zij $T\subset P$ een totaal geordende verzameling, dan heeft $T$ een bovengrens.
%	Laat $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie topologie\"en zijn. Als
%	$\{x_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ een
%	net is in $\prod_{i\in I}X_i$. 
\end{lemma}
\begin{proof}
	Stel dat we een totale
	geordende deelverzameling $T\subset P$ hebben. We zullen bewijzen dat $T$ een bovengrens moet hebben. 
	Kies namelijk $(m,K)$ waarbij voor alle $k\in K$ 

	 \begin{align}\label{m_k} m_k = a_k \text{ voor alle } (a,J)\in T \text{ met } k\in J\end{align}
		 en
	 \begin{align}K=\bigcup_{(a,J)\in T} J.\end{align}

	 Aangezien $T$ een geordende deelverzameling is geldt er voor alle
	 $(a,J),(a',J')\in T$ zonder verlies van algemeenheid dat $(a,J)\leq
	 (a',J')$. Dit betekend dat de accumulatiepunten onderling gelijk zijn
	 op hun gemeenschappelijk indices. Hierdoor is \eqref{m_k} goed
	 gedefinieerd. Ook geldt voor alle $(a,J)\in P$ dat $J\subset K$ en
	 $m|_J = a$, dus $(m,K)$ is een bovengrens van $T$. 

	 Nu hoeven we alleen nog te bewijzen dat
	 $m$ een accumulatiepunt is van $(x_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$. Zij $U\subset \prod_{i\in K}X_i$ een open omgevingen van $m$.
	 Door lemma \ref{basisProduct} kunnen we zonder verlies van
	 algemeenheid zeggen dat $U= \prod_{i\in K} U_i$ waarbij $U_l\subset
	 X_l$ open is voor  alle $l\in L$ en $U_i=X_i$ voor alle $i\in
	 K\backslash L$. Hierbij is $L$ een eindige $L\subset K$. We weten dat er een
	 $(a,J)\in T$ bestaat zodanig dat $L \subset J$. Aangezien $\prod_{i\in J} U_i$ een open omgeving is van
	 $m|_J = a$
	 en $a$ een accumulatiepunt is van $(x_\lambda|_J)_{\lambda\in \Lambda}$ 
	 geldt voor alle $\mu \in \Lambda$ dat voor een
	 $\lambda \geq \mu$ geldt
	 dat $x_\lambda|_J \in \prod_{i\in J} U_i$, dus ook $x_\lambda|_L \in \prod_{i\in L} U_i$. Aangezien
	 $U_i = X_i$ voor alle $i\in K\backslash L$ zien we dat $x_\lambda|_K \in \prod_{i \in K} U_i$, dus
	 is $m$ een accumulatiepunt van $(x_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$ en geldt er dat $(m,K)\in P$.

\end{proof}
\begin{lemma}\label{MaxAccumulatie}
	$P$ heeft een maximum.
	%Als $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie compacte topologie\"en zijn en
	%$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ een net in $\prod_{i\in I} X_i$. Dan
	%is er een $J\subset I$ en $a\in \prod_{i\in J} X_i$ zodanig dat
	%$(x_\lambda|_J)_{\lambda\in \Lambda}$ een accumulatiepunt $a$ heeft. $a$ heeft de volgende eigenschap:
	%Als er een $J\subset K \subset I$ en $a' \in \prod_{i\in K} X_k$ bestaat, zodanig dat
	%$a'$ een accumulatiepunt is van $(x_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$ en $a'|_J = a$ . Dan geldt er dat
	%$K=J$ en $a=a'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Merk ten eerste op dat $P$ niet leeg is. Uit stelling \ref{compactIsAccumulatie} volgt namelijk dat voor willekeurige $i\in I$ geldt
	dat $(x_\lambda|_{\{i\}})_{\lambda \in \Lambda}$ een accumulatiepunt
	$a$ heeft, dus geldt $(a,\{i\})\in P$. Door lemma \ref{Tbovengrens}
	weten we dat iedere totaal geordende verzameling $T\subset P$ begrensd
	is. Door het lemma van Zorn weten we dat dit betekend dat $P$ een maximum heeft.

	%Stel dat we een totale
	%geoorderde deelverzameling $T\subset P$ hebben dan kunnen we bewijzen dat $T$ een bovengrens moet hebben. 
	%Kies namelijk $(m,K)$ waarbij voor alle $k\in K$ 

	% \begin{align}\label{m_k} m_k = a_k \text{ voor alle } (a,J)\in P \text{ met } k\in J\end{align}
	%	 en
	% \begin{align}K=\bigcup_{(a,J)\in P} J\end{align}

	% Aangezien $T$ een geoorderde deelverzameling is geldt er voor alle
	% $(a,J),(a',J')\in T$ zonder verlies van algemeenheid dat $(a,J)\leq
	% (a',J')$. Dit betekend dat de accumulatiepunten onderling gelijk zijn
	% op hun gemeenschappelijk indices. Hierdoor is \eqref{m_k} goed
	% gedefinieerd. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{SmallerHasBigger}
	%Zij $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie compacte topologie\"en en $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ een
	%net in $\prod_{i\in I} X_i$. 
	Als $(a,J)\in P$ en $J\subsetneq I$ dan bestaat er een $(a',J')\in P$ zodanig dat
	$(a,J)\leq (a',J')$ en $J\neq J'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Stel nu dat $(a,J)\in P$ en $J\subsetneq I$.
We weten dan door lemma \ref{AccIsConv} dat
	 $(x_\lambda|_J)_{\lambda\in \Lambda}$ een deelnet
	 $(x_{\phi(\mu)}|_J)_{\mu \in M}$ heeft die naar $a$ convergeert . Neem nu $k\in I\backslash J$. Uit stelling \ref{compactIsAccumulatie}
	 volgt dat $(x_{\phi(\mu)}|_{\{k\}})_{\mu \in M}$ een accumulatiepunt $b$ heeft, dus heeft
	 het een deelnet $(x_{\phi(\chi(\nu))}|_{\{k\}})_{\nu \in N}$ die naar $b$ convergeert. Door lemma
	 \ref{DeelZelfde} convergeert $(x_{\phi(\chi(\nu))}|_J)_{\nu \in N}$ naar $a$. Door lemma \ref{CompConvNet} convergeert 
	 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}}|_{J\cup \{k\}})_{\nu \in N}$ naar $a'$ waarbij $a'_j = a_j$ voor alle $j\in J$
	 en $a'_k = b$. Door lemma \ref{AccIsConv} geldt er dat $a'$ een accumulatiepunt is van $(x_\lambda|_{J\cup \{k\}})_{\lambda\in \Lambda}$. We zien dan dat $(a',J\cup \{k\})\in P$ en dat $(a,J) \leq (a',J\cup \{k\})$.  
\end{proof}
Nu kunnen we de stelling van Tychonov bewijzen. Hiervoor hoeven we alleen te bewijzen dat $X$ compact is.
\begin{proof}[Bewijs van Tychonov]
	Wegens lemma \ref{MaxAccumulatie} heeft $P$ een maximum $(a,J)$. Stel nu dat
	$J\subsetneq I$ dan weten we wegens lemma \ref{SmallerHasBigger} dat er een 
	%Kies nu $a$ en $J$ zoals in lemma \ref{MaxAccumulatie}.
	$(a',J')\in P$ zodanig dat
	$(a,J)\leq (a',J')$ en $J\neq J'$. Dit zou betekenen dat $(a,J)$ geen maximum is en
	dus moet er gelden $J=I$.
	Hieruit volgt dat $a$ een accumulatiepunt is van $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$.	Hieruit conluderen we dat alle netten in $\prod_{i\in I}X_i$ een accumulatiepunt
	 hebben en dus is het wegens stelling \ref{compactIsAccumulatie} compact.
	%We definieren nu de volgende partieel geoordende verzameling:

	%$$P:= \left(\left\{(a,J) \mid a \text{ is een accumulatiepunt van het net }(x_\lambda|_J)_{\lambda \in \Lambda} \mid J \subset I\right\}, \leq\right)$$

	%Hierbij zeggen we dat $(a, J)\leq (a', J')$ dan en slechts dan als $J\subset J'$ en $a'|_J = a$.
	%Merk op dat $P$ niet leeg is. Uit de hypothese volgt namelijk dat voor willekeurige $i\in I$ geldt
	%dat $(x_\lambda|_{\{i\}})_{\lambda \in \Lambda}$ een accumulatiepunt
	%$a$ heeft, dus geldt $(a,\{i\})\in P$. Stel dat we een totale
	%geoorderde deelverzameling $T\subset P$ hebben dan kunnen we bewijzen dat $T$ een bovengrens moet hebben. 
	%Kies namelijk $(m,K)$ waarbij voor alle $k\in K$ 

	% \begin{align}\label{m_k} m_k = a_k \text{ voor alle } (a,J)\in P \text{ met } k\in J\end{align}
	%	 en
	% \begin{align}K=\bigcup_{(a,J)\in P} J\end{align}

	% Aangezien $T$ een geoorderde deelverzameling is geldt er voor alle
	% $(a,J),(a',J')\in T$ zonder verlies van algemeenheid dat $(a,J)\leq
	% (a',J')$. Dit betekend dat de accumulatiepunten onderling gelijk zijn
	% op hun gemeenschappelijk indices. Hierdoor is \eqref{m_k} goed
	% gedefinieerd. Zorn's lemma geeft ons dat $P$ een maximum moet hebben.
	% Als er geldt dat dit $(a,I)$ is waarbij $a$ een accumulatiepunt is
	% van $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ dan zijn we klaar. Stel nu dat dat
	% $(a,J)$ een maximum is waarbij $I\neq J$. We weten dan door lemma ? dat
	% $(x_\lambda|_J)_{\lambda\in \Lambda}$ een deelnet
	% $(x_{\lambda_\mu}|_J)_{\mu \in M}$ heeft die convergeert naar $a$. Uit de hypothese
	% volgt dat $(x_{\lambda_\mu}|_{\{k\}})_{\mu \in M}$ een accumulatiepunt $b$ heeft, dus heeft
	% het een deelnet $(x_{\lambda_{\mu_\nu}}|_{\{k\}})_{\nu \in N}$ die naar $b$ convergeert. Door lemma
	% ? convergeert $(x_{\lambda_{\mu_\nu}}|_J)_{\nu \in N}$ naar $a$. Door lemma ? convergeert 
	% $(x_{\lambda_{\mu_\nu}}|_{J\cup \{k\}})_{\nu \in N}$ naar $a'$ waarbij $a'_j = a_j$ voor alle
	% en $a'_k = b$. We zien dan dat $(a',J\cup \{k\})\in P$ en dat $(a,j) \leq (a',J\cup \{k\})$ en dus
	% is er een tegenpraak. Hieruit conluderen we dat alle netten in $\prod_{i\in I}X_i$ een accumulatiepunt
	% hebben en dus is het wegens stelling \ref{compactIsAccumulatie} compact.
\end{proof}

%Om te begrijpen dat een accumulatiepunt niet hetzelfde is als een convergente deelrij
%https://math.stackexchange.com/questions/1209341/example-of-sequence-with-converging-subnet-but-no-converging-subsequence
\end{document}