\documentclass[scriptie.tex]{subfiles}

\begin{document}


\chapter{Pro-eindige verzamelingen}
In dit hoofdstuk zullen wij de definitie geven van een pro-eindige verzameling. Er moet
wel opgemerkt worden dat wat wij beschouwen als een pro-eindige verzameling doorgaands
een lichte pro-eindige verzameling genoemd wordt (zie opmerking wref{EigenlijkLichtProEindig}). 
Daarna zullen we wat voorbeelden geven van pro-eindige verzamelingen. Een belangrijk voorbeeld
hiervan is de Cantorverzameling. Aan het einde van het hoofdstuk zullen we ook een karakterisatie geven van pro-eindige verzamelingen. We gebruiken in deze bewijzen de resultaten
uit hoofdstuk 1 over de producttopologie.

De definitie van een pro-eindige verzameling is afkomstig van \cite[p. 7-8]{ProFin}. De voorbeelden van pro-eindige verzamelingen zijn afkomstig van \cite[afl. 2; 27:49-29:30]{YouTube}. Ook de karakterisatie van
pro-eindige verzamelingen is hier van afkomstig \cite[afl. 2; 41:29-41:55]{YouTube}. Het bewijs
dat de voorbeelden voldoen aan de definitie van pro-eindige verzamelingen is eigen
werk. Ook is het bewijs dat pro-eindige verzamelingen voldoen aan de karakterisatie
eigen werk.

\section{Definitie en voorbeelden}

\begin{definition}\cite[p. 7]{ProFin}
	Een \textbf{invers systeem} in een categorie $\mathcal{C}$ is een collectie objecten
	$\{X_n\}_{n\in \N}$ samen met een collectie morfismes $(f_n: X_{n+1}\to X_n)_{n\in \N}$.
\end{definition}

Voor een invers systeem van topologieën zullen we nu een inverse limiet bepalen.
\begin{definition}\cite[p. 8]{ProFin} Zij $\{X_n\}_{n \in \N}$ een collectie
	topologische ruimten en  $\left(f_n:X_{n+1}\to
	X_{n}\right)_{n\in \N}$ een collectie continue afbeeldingen.
	De \textbf{inverse limiet} is gedefinieerd als volgt:
	$$\varprojlim_{n\in \N} X_n:= \left\{(x_n)_{n\in\N}\in \prod_{i\in \N}X_i \mid f_n(x_{n+1})=x_n \text{ voor alle } n\in \N\right\}\text{.},$$
	waarbij $\varprojlim_{n\in \N} X_n$ de deeltopologie heeft van $\prod_{i\in \N}X_i$.
\end{definition}
\begin{remark}
	Eigenlijk is $\varprojlim_{n\in \N} X_n$ misbruik van notatie, omdat het naast
	$\{X_n\}_{n\in \N}$ ook afhankelijk is van $(f_n)_{n\in \N}$. Elke keer dat
	een inverse limiet gebruikt wordt zal het uit de context duidelijk moeten zijn
	wat deze morfismes zijn.
\end{remark}

\begin{definition} \cite[p. 8]{ProFin} 
	Een topologische ruimte is \textbf{pro-eindig} als het homeomorf is met een inverse limiet van
	eindige, discrete topologieën.
\end{definition}

\begin{remark}\label{EigenlijkLichtProEindig}
	De definitie van een pro-eindige verzameling die we hier geven is anders dan
	de gebruikelijke definitie van pro-eindige verzamelingen.
	Wat wij hier duiden als een pro-eindige verzameling wordt doorgaands een lichte pro-eindige verzameling genoemd. Toch zullen wij deze verzamelingen
	aanduiden als pro-eindige verzamelingen, aangezien we geen andere
	pro-eindige verzamelingen tegen zullen
	komen.
\end{remark}
	%Er bestaat ook een algemenere definitie van een pro-eindige verzameling. Hierbij nemen we niet de inverse limiet over $\N$, maar over een willekeurige gerichte verzameling. Voor het gemak kijken wij alleen maar naar
	%de inverse limiet over $\N$. Dit wordt ook wel een lichte pro-eindige verzameling genoemd.


Om te bewijzen dat een topologische ruimte pro-eindig is moeten we eerst een
invers systeem opstellen en dan bewijzen dat de ruimte homeomorf is aan de inverse limiet van het systeem.
Om dit laatste te bewijzen is het nodig om een homeomorfisme op te stellen. Het lijkt misschien vrij omslachtig om
te bewijzen dat een functie naar een inverse limiet continu is met de topologie die we hier gegeven hebben.
Vandaar dat we nu een lemma geven waardoor het makkelijker zal zijn om te zien of een afbeelding die naar een pro-eindige verzameling gaat continu is.

\begin{lemma}\label{ProEindigCompContIsCont}
	Zij $T$ een topologische ruimte en $\{X_i\}_{i\in I}$ een collectie topoligische ruimtes. Als
	voor $F:T\to \varprojlim_{i\in I} X_i$ geldt dat $F_i$ voor alle $i\in I$ continu zijn, dan is $F$
	continu. 
\end{lemma}
\begin{proof}
	Zij $\iota: \varprojlim_{i\in I} X_i \to \prod_{i\in I} X_i$ de
	inclusie. Aangezien $\varprojlim_{i\in I} X_i$ de deeltopologie heeft, is $F$ continu
	als $\iota\circ F$ continu is. Vanwege lemma \ref{CompContImpliesCont} weten we dat $\iota\circ F$ continu
	is als $\pi_i \circ \iota \circ F =\pi_i \circ F $ continu is. We concluderen dus dat $F$ continu is als
	het continu is in zijn componenten.
\end{proof}

\begin{example}\cite[afl. 2, 27:49-28:36]{YouTube}.\label{Ninfty} Een voorbeeld van een
	pro-eindige verzameling is $\N\cup \infty$ met met de volgende topologische basis:
	\[\bigcup_{N\in \N} \left\{\{N\}, \{N,N+1,\dots,\infty\} \right\}.\]
	Deze toplogische ruimte noteren we met $\pmb{\N^\infty}$.
\end{example}

 Om te laten zien dat voorbeeld \ref{Ninfty} een pro-eindige verzameling is moeten
we een homeomorfisme opstellen met een inverse limiet. Voor het inverse systeem
moeten we een
collectie eindige verzamelingen $(X_n)_{n\in \N}$ defini\"eren samen met een collectie
afbeeldingen $(f_n: X_{n+1} \to X_n)_{n\in \N}$. Dit doen we als volgt:
\begin{align*}
X_0 &:= \{\infty\}\\
X_n &:= X_{n-1}\cup\{n-1\} \text{ voor alle }n\in \N\backslash \{0\}.
\end{align*}
En de morfismes defini\"eren we zodat alles dat niet naar zichzelf gestuurd
kan worden naar oneindig wordt gestuurd:
$$
f_n(m) = 
\begin{cases}
	m & \text{ als }m< n\\
	\infty & \text{ anders}
\end{cases}.
$$
Nu moeten we een homeomorfisme $F:\N^\infty \to \prod_{n\in \N} X_n$ defini\"eren:
$$F_n(m) = 
\begin{cases}
	m & \text{als } m< n\\
	\infty & \text{anders}
\end{cases}.
$$
Dat $F$ injectief is, is triviaal. Nu zullen we bewijzen dat $F$ surjectief is. Stel dat
$(x_n)_{n\in \N} \in \varprojlim_{n\in \N} X_n$. Als voor alle $n\in \N$ geldt dat
$x_n=\infty$ dan zien we dat $F(\infty) = (x_n)_{n\in \N}$. Als er niet geldt
dat $x_n=\infty$ voor
alle $n\in \N$ nemen we de kleinste $m\in \N$ zodanig dat $x_m\neq \infty$. Er geldt dat
$x_m \in X_m$, dus $x_m\leq m-1$. Bovendien geldt er dat 
$f_{m-1}(x_m) = x_{m-1}=\infty $, dus $x_m\geq m-1$. Hieruit volgt dat $x_m = m-1$.
Aangezien $f_n(x_{n+1}) = x_n$ voor alle $n\in \N$ zien we met inductie dat
$x_n = m-1$ voor alle $n\geq m$. We zien dus dat $F(m-1) = (x_n)_{n\in \N}$.

Door lemma \ref{ProEindigCompContIsCont} is het voldoende om te bewijzen dat de componenten van $F$ continu zijn.
Observeer dat voor alle $n\in \N$ en $m\in X_n\backslash \{\infty\}$ geldt dat $F_n^{-1}(\{m\}) = \{m\}$ en dat
$F_n^{-1}(\{\infty\}) = \{n,n+1,\dots,\infty\}$. Het teruggehaald beeld van alle singletons zijn open en dus is $F_n$ continu, waaruit we kunnen concluderen dat $F$ ook continu is.

Onthoudt dat $\N^\infty$ een gesloten deelruimte is van de compactificatie
van de reële getallen $\R^\infty$. Hieruit volgt dat $\N^\infty$ compact is. Ook zullen
we later in lemma \ref{ProEindigHaus} bewijzen dat alle pro-eindige verzamelingen
Hausdorff zijn. We kunnen hieruit concluderen dat $F^{-1}$ ook continu is en dus is $F$
een homeomorfisme.
%We zullen
%nu laten zien dat $F^{-1}$ continu is. Zij $U$ een open in $\N\cup \infty$. Als 
%$\infty \notin U$ dan weten we dat $U$ geschreven kan worden als een vereniging
%singletons uit $\N$. We zien dat voor alle $m\in \N$.
%
%$$F(\{m\}) = \left(\prod_{n\leq m} \{\infty\} \right) \times \left( \prod_{m<n} \{m\}\right) = \left(\prod_{n\leq m} \{\infty\} \right) \times \left(\prod_{n>m} X_n\right) \bigcap \varprojlim_{n\in \N} X_n.$$
%
%Aangezien $\left(\prod_{n\leq m} \{\infty\} \right) \times \left(\prod_{n>m} X_n\right)$
%open is in $\prod_{n\in \N} X_n$ zien we dat $F(\{m\})$ open is. 
%
%$F(\N_{\geq m}\cup \{\infty\})$
\begin{example} \cite[28:52-29:30]{YouTube}
	Een ander voorbeeld van een pro-eindige verzameling is de \textbf{Cantorverzameling}.
%	Dit is een belangrijk voorbeeld, aangezien het later zal blijken dat iedere
%pro-eindige verzameling geschreven kan worden als een quoti\"ent van een cantor-verzameling. 
	Onthoudt dat de
Cantorverzameling gelijk is aan
	$$\bigcap_{n\in \N} C_n \text{, waarbij }C_0 := [0,1] \text{ en } C_n := \frac{1}{3}C_{n-1} \cup \left(1 - \frac{1}{3} C_{n-1}\right) \text{ voor alle } n\in \N_{>0}\text{.}$$

Net als in het eerdere voorbeeld moeten we een invers systeem definiëren. Definieer $X_n$ als de verzameling van
	componenten van $C_n$. 
	%We zien dan bijvoorbeeld dat X_3=\{[0,1/27],[2/27,1/9],[2/9,7/27],[8/27,1/3],[2/3,19/27],[20/27,7/9],[8/9,25/27],[26/27,1]\}$,,
	We zien dan bijvoorbeeld dat $X_2=\{[0,1/9],[2/9,1/3],[2/3,7/9],[8/9,1]\}$.
	%:= \{[0,1]\}$ en $X_{n} := \frac{1}{3}X_{n-1} \cup \left(1 - \frac{1}{3} X_{n-1}\right)$ voor alle $n\in \N_{>0}$.
	Voor ons invers systeem hebben we ook nog morfismes nodig. Om 
	deze te definiëren zal het ons helpen om eerst een afbeelding
	\[G: C \to \prod_{n\in \N} X_n\]
	te construeren. We definiëren $G_n(x)\in X_n$ als de unieke $[a,b]\in
	X_n$ zodanig dat
	$x\in [a,b]$. Het is ook mogelijk om $G_n$ expliciet uit te schrijven als:
	\begin{align}G_n(x) = \left[\floor*{\frac{x3^n}{2}}\cdot \frac{2}{3^n},\floor*{\frac{x3^n}{2}}\cdot \frac{2}{3^n}+\frac{1}{3^n}\right].\label{explicit}\end{align}
	Nu kunnen we $f_n:X_{n+1}\to X_n$ voor iedere $n\in \N$ simpelweg
	definiëren als $f_n([a,b]) = G_n(a) = G_n(b)$.

	Wat zal blijken is dat het beeld van $G$ precies gelijk is aan
	$\varprojlim_{n\in \N} X_n$. We kunnen dus $F:C\to \varprojlim_{n\in \N}X_n$
	definiëren als $F(x) = G(x)$.
	We laten nu zien dat $F$ daadwerkelijk goed gedefinieerd is. Voor willekeurige $x\in C$
	en $n\in \N$ bestaat er een unieke $[a_n,b_n]\in X_n$ zodat $x\in
	[a_n,b_n]$ en een unieke $[a_{n+1},b_{n+1}]\in X_{n+1}$ zodat
	$x\in[a_{n+1},b_{n+1}]$. Bovendien zien we ook dat $F_n(x)= [a_n,b_n]$
	en $F_{n+1}(x)= [a_{n+1},b_{n+1}]$.
	We zien door \eqref{explicit} dat $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_{n},b_{n}]$, dus ook dat
	$f([a_{n+1},b_{n+1}]) = F(a_{n+1}) = F(b_{n+1})=[a_n,b_n]$.


	Nu we de inverse limiet hebben gedefinieerd hoeven we alleen nog te
	laten zien dat $F$ een homeomorfisme is. Stel dat $x\neq y$. Dan weten we dat
	$\lim_{n\to \infty} \frac{(x-y)3^n}{2} = \pm \infty$ en dus bestaat er een $n\in \N$ zodanig
	dat $\left|\frac{(x-y)3^n}{2}\right| \geq 1$. Voor deze $n$ zien we ook dat 
	$\floor*{\frac{x3^n}{2}} \neq \floor*{\frac{y3^n}{2}}$ en dus geldt er dat $F(x)\neq F(y)$. We zien dus dat $F$ injectief is. Om surjectiviteit te bewijzen nemen
	we $([a_n,b_n])_{n\in \N}\in \varprojlim_{n\in \N} X_n$. We zien dan dat
	$|a_{n+1}-b_{n+1}| = \frac{1}{3}|a_{n}-b_{n}|$ en dat
	$[a_{n+1},b_{n+1}] \subset [a_{n},b_{n}]$ voor alle $n\in\N$. Hieruit zien we dat
	$\bigcap_{n\in \N} [a_{n},b_{n}]= \{x\}$ voor een $x\in [0,1]$. We zien dan dat $F_n(x)=[a_n,b_n]$.

	Om te bewijzen dat $F$ continu is hoeven we wegens lemma
	\ref{ProEindigCompContIsCont} alleen te bewijzen dat $F_n$ continu is voor iedere
	$n\in \N$. Voor een zekere $[a,b]\in X_n$ zien we dat $F_n^{-1}([a,b])=[a,b]\cap C$.
	Omdat $X_n$ eindig is, zien we nu dat een teruggehaald beeld van elke gesloten
	verzameling gesloten is en dus is $F_n$ continu.

	We weten dat de cantor verzameling een gesloten deelruimte is van $[0,1]$, dus
	is het compact. In lemma \ref{ProEindigHaus} zullen we bewijzen dat alle pro-eindige verzamelingen
	Hausdorff zijn. Hieruit kunnen we concluderen dat $F^{-1}$ ook continu moet zijn
	en daarom is $F$ een homeomorfisme en de Cantor verzameling een pro-eindige
	verzameling.

	


\end{example}

%Nu moeten we een homeomorfisme $F: \varprojlim_{n\in \N} X_n\to C$ defini\"eren.
%Zij $([a_n,b_n])_{n\in \N} \in \varprojlim_{n\in \N} X_n$ dan defini\"eren we 
%$$F(([a_n,b_n])_{n\in \N}) := \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n$$. 
%
%{\color{green} continuïteit}
%\begin{example} {\color{green} $\prod_{n\in \N} \{0,1,2,\dots,9\}$}
%\end{example} 
%\begin{example} {\color{orange} $\beta N$}
%\end{example}

%\begin{definition}(Pro-eindige verzamelingen (alternatief)) {\color{green} Hier komt de definitie van een Pro-eindige verzameling dat lijkt op definitie 9.19 van Taelman}
%\end{definition}

%\begin{lemma}
%{\color{green} De vorige twee definities zijn equivalent}
%\end{lemma}

\section{Karakterisatie van Pro-eindige verzamelingen}

%TODO:https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZW

We zullen nu bewijzen dat pro-eindige verzamelingen voldoen aan een aantal topologische
eigenschappen. Het blijkt namelijk dat alle pro-eindige verzamelingen Hausdorff, compact,
totaal onsamenhangend en metriseerbaar zijn. Omgekeerd geldt er ook dat alle ruimtes die
Hausdorff, compact,
totaal onsamenhangend en metriseerbaar zijn, pro-eindig zijn \cite[41:29-41:55]{YouTube}. Dit laatste zullen we
hier niet bewijzen.
\begin{lemma}\label{ProEindigHaus}
{ Pro-eindige verzamelingen zijn Hausdorff.}
\end{lemma}
\begin{proof}
	Een discrete topologie is altijd Hausdorff. Een product van Hausdorff-ruimtes is opnieuw Hausdorff
	en een deelruimte van een Hausdorff-ruimte is ook Hausdorff.
	Een inversie limiet is altijd een deelruimte van een product van discrete topologie\"en en daarom is
	een inverse limiet altijd Hausdorff. Aangezien Hausdorff een topologische eigenschap is zijn pro-eindige
	verzamelingen ook Hausdorff.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{ProEindigComp}
{Pro-eindige verzamelingen zijn compact.}
\end{lemma}
\begin{proof}
	We zien dat

	\begin{align*}
		\varprojlim_{n\in \N} X_n &= \left\{(x_n)_{n\in\N}\in \prod_{i\in \N}X_i \mid f_n(x_{n+1})=x_n \text{ voor alle } n\in \N\right\}\\
		&=\bigcap_{n\in \N}\left\{(x_n)_{n\in\N}\in \prod_{i\in \N}X_i \mid f_n(x_{n+1})=x_n \right\}\\
		&=\bigcap_{n\in \N} \bigcup_{x_n\in X_n}\left(\prod_{i\in \{0,\dots,n-1\}} X_i\right)\times
		\{x_n\} \times f_n^{-1}(\{x_n\}) \times \left(\prod_{i\in \{n+1,n+2,\dots\}}  X_i\right)\\
	\end{align*}

	We zien dat 
	
	$$\left(\prod_{i\in \{0,\dots,n-1\}} X_i\right)\times
		\{x_n\} \times f_n^{-1}(\{x_n\}) \times \left(\prod_{i\in \N_{>n+1}}  X_i\right)$$
	gesloten is voor alle $n\in \N$ en $x_n \in X_n$ . Aangezien $X_n$ eindig is voor alle $n\in \N$ zien 
	we dat $\varprojlim_{n\in \N} X_n$ ook gesloten is.

	We weten dat eindige discrete topologie\"en altijd compact zijn. Door de stelling van tychonov is
	het product van eindige discrete topologie\"en ook compact. Aangezien $\varprojlim_{n\in \N} X_n$ een
	gesloten deelruimte is van een product van eindige discrete topologie\"en is $\varprojlim_{n\in \N} X_n$
	ook compact. Aangezien compactheid een topologische eigenschap is betekent dit dat alle pro-eindige
	verzamelingen compact zijn.
\end{proof}

\begin{definition}[Totaal onsamenhangende ruimte] Een ruimte is totaal onsamenhangend als de enige samenhangende
	componenten singletons zijn.
\end{definition}

\begin{lemma} Pro-eindige verzamelingen zijn totaal onsamenhangend.
\end{lemma}
\begin{proof}
De discrete topologie is totaal onsamenhangend. Aangezien producten en deelruimtes van totaal onsamenhangende
ruimtes opnieuw onsamenhangend zijn, zien we dat de inverse limiet totaal
onsamenhangend is. Aangezien totaal onsamenhangendheid een topologische eigenschap is zien we dat alle
pro-eindige topologie\"en totaal onsamenhangend zijn.
%Aangezien er vrijwel per definitie geldt dat lege deelverzamelingen niet,
%	en singletons wel samenhanhangend zijn, hoeven we alleen te laten zien dat deelverzamelingen met
%	minstens twee elementen niet samenhangend kunnen zijn. Aangezien totaal onsamenhangen
\end{proof}

\begin{proposition}
	Pro-eindige verzamelingen zijn metriseerbaar.
\end{proposition}
\begin{proof}
	We weten dat discrete topologieën metriseerbaar zijn. Door stelling
	\ref{metriseerbaar} weten we dan dat een aftelbaar product van discrete topologieën metriseerbaar is. Aangezien een deelruimte van een metrische ruimte weer metriseerbaar is, weten we dat een invers limiet van discrete topologieën metriseerbaar is. Aangezien
	metriseerbaarheid een topologische eigenschap is zien we dat alle pro-eindige
	verzamelingen metriseerbaar zijn.
\end{proof}
%{\color{orange} Misschien iets over booleaanse algebra's}
%
%{\color{orange} Uitleggen wat het gewicht (weight) is van een pro-eindige verzameling
%en wanneer een pro-eindige verzameling licht (light) is.}
%
%\begin{theorem} De volgende categorie\"en zijn equivalent aan lichte pro-eindige verzamelingen
%\begin{itemize}
%	\item {\color{orange} $\text{Pro}_{\N}(\text{Fin})$}
%	\item {\color{orange} Metriseerbare totaal onsamenhangende compacte hausdorff ruimtes}
%	\item {\color{orange} Aftelbare booleaanse algebra's}
%\end{itemize}
%\end{theorem}
%\begin{theorem} {\color{orange}De categorie van lichte pro-eindige verzamelingen heeft alle
%aftelbare limieten. Opeenvolgende limieten van surjecties zijn surjectief.}
%\end{theorem}

%\begin{theorem} Voor iedere pro-eindige verzameling $S$ bestaat er
%een surjectie van de cantor set. Deze surjectie is bovendien een quotient. 
%\end{theorem}
%\begin{proof}
%	We zullen een rij $(m_n)_{n\in \N}$ in $\N$ en een collectie functies $(g_{m_n}: C_n \to S_n)_{n\in \N}$
%	construeren, waarbij $g_n$ surjectief is en $ h_{n-1}\circ g_{m_n} = g_{m_{n-1}} \circ f_{m_{n-1}} \circ \dots \circ f_{m_n-1}$
%\end{proof}

%\begin{theorem} {\color{orange} Laat $S$ een lichte pro-eindige verzameling zijn en $U\subset S$ open. Dan is $U$ een aftelbare disjuncte vereniging van lichte pro-eindige verzamelingen.}\end{theorem}
\end{document}
