\documentclass[scriptie.tex]{subfiles}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\chapter{Gecondenseerde verzamelingen}

Dit hoofdstuk gaat over gecondenseerde verzamelingen. 
Er moet
wel opgemerkt worden dat wat wij beschouwen als een gecondenseerde verzameling, doorgaands
een lichte gecondenseerde verzameling genoemd wordt (zie opmerking \ref{LightCond}). 
We kunnen een gecondenseerde
verzameling beschouwen als een functor die een pro-eindige verzameling stuurt naar
een verzameling van afbeeldingen $S$ naar $X$. Gecondenseerde verzamelingen geven ons
een manier om topologieën te vervangen. Het is namelijk mogelijk om vanuit een topologie
een gecondenseerde verzameling te creëren. Dit noemen we het gecondenseerde analagon. Het
is ook mogelijk om vanuit een gecondenseerde verzameling een topologie the creëren en dit
zullen we een topologische benadering noemen.

In sectie 1 zullen we de formele definitie van een gecondenseerde verzameling geven,
daarna zullen we kijken hoe dit rijmt met de informele uitspraak dat we $X(S)$ kunnen
beschouwen als een collectie afbeeldingen tussen $S$ en $X$. We zullen twee voorbeelden
van gecondenseerde verzamelingen.
Daarna zullen we het Yoneda
lemma behandelen. Dit zal ons een formele manier geven hoe we $X(S)$ kunnen zien
als een collectie afbeeldingen van $S$ naar $X$.

In sectie 2 zullen we een functor definiëren van topologieën naar gecondenseerde 
verzamelingen. Deze functor noemen we de gecondenseerde analogonsfunctor. Deze functor maakt het mogelijk om interessantere voorbeelden
te geven van gecondenseerde verzamelingen.

In sectie 3 zullen we een functor definiëren van gecondenseerde verzamelingen naar topologieën. Deze functor noemen we de topologische benaderingsfunctor. Het zal blijken dat deze functor de linksgeadjugeerde is van de  gecondenseerde analagonsfunctor.

In sectie 4 zullen we kijken hoe goed de topologische benadering van een
gecondenseerde analagon van een topologie de topologie benadert. Het zal blijken dat deze
benadering goed gaat dan en slechts dan als de topologie sequentieel is. Dit resultaat
zal ons helpen te bewijzen dat de gecondenseerde analogonsfunctor fully faithfull is als
we alleen kijken naar sequentiele topologieën. Het zal ons zelfs lukken om een
nog sterkere uitspraak te bewijzen. Namelijk dat de gecondenseerde analogon functor ``alleen maar" fully faithfull is als we kijken sequentiele topologieën.

Dit hele hoofdstuk is gebasseerd op de video's \cite{YouTube} en het dictaat
\cite{Condensed} van Peter Scholze. Een verschil is wel dat wij veel meer
uitspraken zullen bewijzen. Dit is dan eigen werk. Wat ook eigen werk is, is de uitspraak
dat de gecondenseerde analogonsfunctor alleen fully faithfull is op sequentiele
topologieën. Peter Scholze daarentegen zei alleen dat de gecondenseerde
analogonsfunctor fully faithfull is op seqentiele topologieën en deed verder
geen uitspraken over hoe de functor zich gedroeg wanneer de topologieën niet sequentieel waren.

\section{Definitie, voorbeelden en Yoneda}

%:{\color{green}Korte motivatie over gecondenseerde verzamelingen. Ik heb het hier al een beetje over stellingen die pas in een later hoofdstuk zullen komen om uit te leggen dat gecondenseerde verzamelingen gerelateerd zijn
%aan topologie\"en.}

%\begin{definition}
%	Vezel
%\end{definition}
%
%\begin{definition}\label{setEqualisor}
%	Equalisor voor de categorie set wordt hier gedefinieerd met gebruik van vezels.
%\end{definition}
%
%\begin{definition}\label{algEqualisor}
%	Equalisor voor een algemene categorie
%\end{definition}
%
%\begin{lemma}
%	In de categorie set zijn definitie \ref{setEqualisor} en \ref{algEqualisor} equivalent.
%\end{lemma}
%
%\begin{lemma}
%	Equaliser in top.
%\end{lemma}


\begin{definition} 
	Een \textbf{gecondenseerde verameling} is een functor 
	\[X:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\to \text{Set}.\] 
	De functor $X$ moet voldoen aan de volgende
	eigenschappen:

	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Een gecondenseerde verzamelingen stuurt de lege verzamelingen
			naar een singleton:
			\[X(\emptyset) = \{*\}.\]
		\item 
			Definieer de functoren \[F,G:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\times\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}} \to \text{Set}\] waarbij \[F(S_1,S_2) = X(S_1 \sqcup S_2) \text{ en } G(S_1,S_2) = X(S_1)\times X(S_2).\]
			Dan moet er gelden dat $\eta: F\to G$ gedefinieerd als
			$\eta_{(S_1,S_2)}:=(X(\iota_1),X(\iota_2))$, waarbij $\iota_1$ en
			$\iota_2$ de inclusie zijn van respectievelijk $S_1\to S_1\sqcup S_2$ en $S_2\to S_1\sqcup S_2$ een isomorfisme is.
		\item Voor een willekeurige surjectie $f:T\to S$ geldt dat
			\[X(S) \overset{X(f)}{\to} X(T) \underset{X(\pi_2)}{\overset{X(\pi_1)}{\rightrightarrows}} X(T\times_S T)\]
			een equalizer is. Aangezien $T$ en $S$ topologische ruimtes zijn kunnen we zeggen dat \[T\times_S T = \{(t_1,t_2)\in T\times T \mid f(t_1)=f(t_2)\}.\]
	\end{enumerate}
	De categorie van gecondenseerde verzamelingen samen met de natuurlijke transformaties tussen
	gecondenseerde verzamelingen noteren we met $\text{Cond}$. 
\end{definition}
\begin{remark}\label{LightCond}
	De definitie van een gecondenseerde verzameling die we hier geven is anders dan
	de gebruikelijke definitie van gecondenseerde verzamelingen.
	Wat wij hier duiden als een gecondenseerde verzameling wordt doorgaands een lichte gecondenseerde verzameling genoemd. Toch zullen wij deze verzamelingen
	aanduiden als gecondenseerde verzamelingen, aangezien we geen andere
	gecondenseerde verzamelingen tegen zullen
	komen.
\end{remark}
\begin{remark} 
	Voor een gegeven gecondenseerde verzameling $X$ en pro-eindige verzameling $S$, is het handig
	om naar $X(S)$ te kijken als een collectie afbeeldingen van $S$ naar $X$.
	Merk op dat deze drie eigenschappen hiermee overeenkomen. Eigenschap (i) komt overeen met
	het feit dat er maar één afbeelding
	is van $\emptyset$ naar $X$. Eigenschap (ii) volgt uit het feit dat een afbeelding van $S_1\sqcup S_2$
	naar $X$ equivalent is aan twee aparte afbeeldingen $S_1$ naar $X$ en $S_2$ naar $X$. De derde eigenschap
	volgt uit het feit dat het hebben van een afbeelding van $T\times_S T$ naar $X$ equivalent is aan het hebben
	hebben van een afbeelding $T$ naar $X$ die gelijk is op de vezels van $f$.
\end{remark}

Iedere gecondenseerde verzameling heeft ook een onderliggende verzameling.

\begin{definition}[De onderliggende verzameling]
	Voor een gecondenseerde verzameling $X$ is de onderliggende verzameling
	$X(\{*\})$ 
\end{definition}

Nu zullen we een voorbeeld geven van een gecondenseerde verzameling. 
%\begin{example}\label{EmptyCond}
%	We defini\"eren de Lege gecondenseerde verzameling $L:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\to \text{Set}$ als $L(\emptyset) = \{*\}$ en voor alle pro-eindige $S\neq \emptyset$ defini\"eren we 
%	$L(S) = \emptyset$.
%
%	Dat $L$ voldoet aan (i) volgt direct. Dat $L$ voldoet aan (ii) volgt
%	uit het feit dat als $S_1=S_2=\emptyset$, dat $L(S_1\sqcup S_2) =
%	\{*\}$ en dat  $ L(S_1)\times L(S_2)=\{*\}\times \{*\}=\{*\}$.
%	Stel nu dat zonder verlies van algemeenheid dat $S_1\neq \emptyset$, dan
%	zien we dat $L(S_1\sqcup S_2) = \emptyset$ en dat $L(S_1)\times L(S_2)
%	= \emptyset\times L(S_2) = \emptyset$. Voor $f:T\to S$ een surjectie
%	tussen pro-eindige verzamelingen. Als $T=S=\emptyset$, dan zien we dat
%	$L(T) = L(S) = L(T\times_S T) = \{*\}$ en dat $L(f) = L(\pi_1) = L(\pi_2) = \text{Id}$,
%	dus hebben we een equalizer.
%
%\end{example}
%Een ander voorbeeld is de singleton gecondenseerde verzamelingen.
\begin{example}\label{SingleCond}
	We defini\"eren de Singleton gecondenseerde verzameling $E:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\to \text{Set}$ als $E(S) = \{*\}$ voor alle pro-eindige $S$.
	Dat $E$ voldoet aan (i) volgt direct. Dat $L$ voldoet aan (ii) volgt
	uit het feit dat $L(S_1\sqcup S_2) =
	\{*\}$ en dat  $ L(S_1)\times L(S_2)=\{*\}\times \{*\}=\{*\}$ voor alle pro-eindige $S_1,S_2$.
	Neem nu een willekeurige surjectie $f:T\to S$ 
	tussen pro-eindige verzamelingen. We zien dat
	$L(T) = L(S) = L(T\times_S T) = \{*\}$ en dat $L(f) = L(\pi_1) = L(\pi_2) = \text{Id}$,
	dus hebben we een equalizer.
\end{example}

Dit voorbeeld is nog niet heel interessant. Dit komt omdat we nog niet het gereedschap hebben om echt interessante
voorbeelden te kunnen geven.

\subsection{Yoneda}

Eerder hadden we gezegd dat we $X(S)$ kunnen zien als een collectie afbeeldingen van $S$ naar $X$. Dankzij
het Yoneda lemma kunnen we dit formaliseren. We zullen hier het Yoneda lemma herhalen.
Het bewijs staat in \cite[p. 57-59]{Yoneda}.

\begin{proposition}\cite[p. 57]{Yoneda}[Yoneda]
	Zij $\mathcal{C}$ een lokaal-kleine categorie. Dan zijn de functors
	\begin{align*}
		(F,A)\mapsto& F (A) &: \text{Set}^\mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \text{Set}\\
		(F,A)\mapsto& \text{Hom}(\text{Hom}_{\mathcal{C}}(A,-),F) &: \text{Set}^\mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \text{Set}
	\end{align*}
	isomorf.
\end{proposition}

Hieruit volgt direct wat we nodig hebben. We zullen hierbij de notatie gebruiken dat
voor een continue verzameling $A$ geldt dat
\[\underline{A}:= \text{Hom}_{\text{Top}}(-,A).\]
Dat $\underline{A}$ daadwerkelijk een gecondenseerde verzameling is, zullen we
in de volgende
sectie bewijzen.
\begin{corollary}\label{GevolgYoneda}
	Zij $X$ %\[X(S_1 \sqcup S_2) \cong X(S_1)\times X(S_2)\]fin})^{\text{op}} 
	een gecondenseerde verzameling en $S$ een pro-eindige verzameling. Dan geldt
	er dat $X(S) \cong \text{Hom}(\underline{S},X)$.
\end{corollary}
\begin{proof}
	We weten dat $X:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\to \text{Set}$, dus wegens Yoneda
	zien we dat
	$$X(S) \cong \text{Hom}(\text{Hom}_{\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}}(S,-),X) = \text{Hom}(\text{Hom}_{\text{Pro}_{\N}(\text{fin})}(-,S),X)=\text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{S},X).$$
\end{proof}

Nu we hebben laten zien dat $X(S)\cong \text{Hom}(\underline{S},X)$, moeten we alleen
nog bekijken wat $X(f)$ wordt voor een willekeurige $f:T\to S$.

\begin{corollary}
	Zij $X$ een gecondenseerde verzameling en $f:T\to S$ een morfisme tussen 
	pro-eindige verzamelingen. Dan geldt er dat $X(f) \simeq (f_*)^*$.
\end{corollary}
\begin{proof}
	We zien door Yoneda dat
	\[X(f) \simeq \text{Hom}(\text{Hom}_{\text{Pro}_{\N}(\text{fin})}(-,f),X) = \text{Hom}(f_*,X) = (f_*)^*\]
\end{proof}

We kunnen ook voor een morfisme $f:X\to Y$ tussen gecondenseerde verzamelingen zeggen
wat  $f_S$ is voor een willekeurige pro-eindige $S$.

\begin{corollary}
	Zij $f:X\to Y$ een morfisme tussen gecondenseerde verzamelingen, dan geldt er dat
	$f_S = f_*$.
\end{corollary}
\begin{proof}
	We zien door
	Yoneda dat
	voor een willekeurige pro-eindige $S$ geldt dat
	\[f_S = \text{Hom}(\text{Hom}_{\text{Pro}_{\N}(\text{fin})}(-,S),f)=f_*.\]
\end{proof}
\section{De gecondenseerde analogonsfunctor}

We zullen nu zien hoe we vanuit een topologie een gecondenseerde verzameling kunnen creëren.
Stel dat $A$ een topologische ruimte is. We zullen de gecondenseerde analagon van $A$ noteren
als $\underline{A}$. We zullen nu $\underline{A}(S)$ definiëren als de verzameling afbeeldingen
van $S$ naar $A$. Aangezien $A$ en $S$ topologische ruimtes zijn is het logisch om alleen naar
de continue afbeeldingen te kijken.

\begin{definition}
	Voor twee topologische ruimten $A$ en $B$ definieren we \[\text{Cont}(A,B) := \text{Hom}_{\text{Top}}(A,B),\]
	oftewel de verzameling van continue afbeeldingen tussen $A$ en $B$.
\end{definition}

\begin{definition}
	Voor een topologische ruimte $A$, defini\"eren we $\underline{A}= \text{Cont(-,A)}$.
	We zien dan dat $\underline{A}(f) = f^*$.
\end{definition}

We zullen nu bewijzen dat $\underline{A}$ een gecondenseerde verzameling is.
%Dit is een erg nuttig voorbeeld van een gecondenseerde verzameling, aangezien het
%zal laten zien hoe begrippen die betrekking hebben met gecondenseerde verzamelingen, zich verhouden
%met begrippen die we al kennen.

\begin{theorem} Voor een topologische ruimte $A$ is $\underline{A}:S\mapsto \text{Cont}(S,A),f\mapsto f^*$ een gecondenseerde
	verzameling.
\end{theorem}
\begin{proof}
	%{\color{green} Hier bewijs ik dat $\underline{A}$ voldoet aan alle drie eigenschappen van gecondenseerde
	%verzamelingen.}
	Zij $A$ een topoligische ruimte. We zien dat $\underline{A}(\emptyset) = \text{Cont}(\emptyset,A)=\{*\}$.

	We zien ook dat de functoren
	\[F,G:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\times\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}} \to \text{Set}\] waarbij \[F(S_1,S_2) = \text{Cont}(S_1 \sqcup S_2,A) \text{ en } G(S_1,S_2) = X(S_1)\times X(S_2)\] 
	isomorf zijn, aangezien we zien dat $((\iota_1)^*,(\iota_2)^*):
	\underline{A}(S_1\sqcup S_2) \to \underline{A}(S_1)\times
	\underline{A}(S_2)$ gelijk is aan $f\mapsto (f|_{S_1},f|_{S_2})$ en dit is een bijectie.

%	De laatste gelijkheid volgt uit de volgende bijectie:
%
%$$\text{Cont}(S_1 \sqcup S_2,A) \to \text{Cont}(S_1 ,A)\times \text{Cont}(S_2,A)$$
	%$$f\mapsto (f|_{S_1}, f|_{S_2})$$

	%het feit dat
	%we elke functie met domein $S_1\sqcup S_2$ kunnen identificeren met een functie
	%met domein $S_1$ en een functie met domein $S_2$.

	Als laatste moeten we nog laten zien dat
	
	$$\underline{A}(S) \overset{f^*}{\to} \underline{A}(T) \underset{\pi_2^*}{\overset{\pi_1^*}{\rightrightarrows}} \underline{A}(T\times_S T)$$

een equalizer is. Hiervoor nemen we een willekeurige verzameling $U$ met een
afbeelding $m:U\to \underline{A}(T)$ die voldoet aan $\pi_1^*\circ m = \pi_2^* \circ m$. Er moet een
unieke $h:U\to \underline{A}(s)$ bestaat die voldoet aan
\begin{align}
	h(u)  \circ f = m \text{ voor alle }u\in U\label{commutatie}
\end{align}
	We weten door stelling \ref{ProEindigComp} en \ref{ProEindigHaus} dat $S$ en $T$ compact en Hausdorff zijn. Aangezien $f$ 
surjectief is, is het een quotientafbeelding.

Bovendien, merken we op dat $T\times_S T = \{(t_1,t_2)\in T\times T \mid f(t_1) = f(t_2)\}$. Voor alle
$t_1,t_2\in T$ met $f(t_1) = f(t_2)$ zien we dus dat 

$$m(u)(t_1) = (\pi_1^*\circ m)(u)(t_1,t_2) = (\pi_2^*\circ m)(o)(t_1,t_2) = m(o)(t_2).$$

Door de universele eigenschap van quotientafbeeldingen, bestaat er een unieke continue
	afbeelding $h(u): S\to A$ die aan \eqref{commutatie} voldoet.
\end{proof}

%Nu is het mogelijk om voorbeeld \ref{EmptyCond} en \ref{SingleCond} 

Nu is het mogelijk om $\underline{A}$ te evalueren in verschillende pro-eindige verzamelingen die we al gezien hebben. 


\begin{example}\label{ASingle}
	Bij het meest eenvoudige voorbeeld $\{*\}$ zien we dat $\underline{A}(\{*\}) = \text{Cont}(\{*\},A)\cong A$. 
\end{example}

\begin{example}
	Een interessanter voorbeeld is $\N^\infty$. We zien dat dat \[\underline{A}(\N^\infty) = \text{Cont}(\N^\infty, A) = \{\text{Convergente rijen in }A \text{ met een limietpunt}\}.\] We zien namelijik dat als $(x_n)_{n\in \N\cup\{\infty\}} \subset \text{Cont}(\N \cup \{\infty\})$ dat voor alle open omgevingen
$U$ van $x_\infty$ er een $N$ bestaat zodat voor alle $n\geq N$ geldt dat $x_n \in U$. Dit betekent in andere woorden dat $(x_n)_{n\in \N}$ naar $x_\infty$ convergeert. We kunnen dus zeggen dat $\underline{A}(\N\cup \infty)$ de verzameling is van alle convergerende rijen in A, samen met \textit{een} limietpunt. De nadruk ligt hier op ``\textit{een}", omdat in een niet-Hausdorff ruimte een rij meerdere limietpunten kan hebben. Het limietpunt wordt dus
niet helemaal bepaalt door de rij.
\end{example}

%	\begin{lemma} $\underline{A}(\N\cup \{\infty\}) = \text{Convergerende rijen in } A$, {\color{red} $\underline{A}(\text{Cantor set}) =  ?$ 1:10:23}
%\end{lemma}
%
%
%\begin{remark}
%	{\color{red} Er bestaat een injectie tussen gecondenseerde verzamelingen en verzamelingen
%
%	$$X\mapsto X(\text{Cantor set})$$}
%\end{remark}

%{\color{green} Hier leg ik (niet exact) uit, dat het mogelijk is voor een willeurige gecondenseerde verzameling
%om $X(S)$ te zien als een afbeelding van $\underline{S}\to X$.}
%Zoals eerder gezegd is $\underline{A}(S) = \text{Cont}(S,A)$. Elk element van $\underline{A}(S)$ is dus
%een afbeelding van $S$ naar $A$. Nu is het zo dat we $A$ ook kunnen beschrijven als de onderliggende
%verzameling van $A$, aangezien $\underline{A}(\{*\}) = A$. We zouden dus ook elk element van
%$\underline{A}(S)$ kunnen beschrijven als een afbeelding van $S$ naar de
%onderliggende verzameling van $\underline{A}$. We zullen nu zien dat $\underline{A}$ niet de enige
%gecondenseerde verzameling is waar dit voor geldt en dat eigenlijk voor alle gecondenseerde verzamelingen
%$X$ geldt dat $X(S)$ een verzameling afbeeldingen is van $S$ naar $X(*)$. Om dit te begrijpen hebben we
%het Yoneda lemma nodig.


%We hebben nu laten zien dat $X(S)$ congruent is aan alle afbeeldingen van $\underline{S}$ naar $X$. Door
%lemma ? weten we dat er een injectie bestaat tussen $\text{Hom}(\underline{S},X)$ en $\text{Hom}(S,X(\{*\}))$.
%Hierdoor zien we dat we elke $\beta\in X(S)$ kunnen representeren als $\beta: S\to X(\{*\})$.

%Nu is het ook interessant om te kijken wat een gecondenseerde verzameling $X$ doet met met morfismes.
%We wisten al dat voor een morfisme $f: T\to S$ geldt dat $\underline{A}(f) = f^*$. Nu dat we weten dat we
%$X(S)$ kunnen beschrijven als een deelverzameling van $\text{Hom}_{\text{Set}}(S,X(\{*\}))$, moet het ook
%mogelijk kunnen zijn om $X(f)$ te beschrijven als een afbeelding van $\text{Hom}_{\text{Set}}(S,X(\{*\}))$
%naar $\text{Hom}_{\text{Set}}(T,X(\{*\}))$. {\color{red} Ik zie niet hoe ik
%moet bewijzen dat $X(f)= f^*$. Dit volgt volgens mij niet uit het Yoneda lemma}


%\begin{theorem}
%	{ \color{green} Hier formuleer ik een stelling waaruit volgt dat je $X(S)$ kunt zien als een
%	afbeelding $\underline{S}\to X$.}
%\end{theorem}
%\begin{proof}
%	{\color{green} bewijs}
%\end{proof}

Het blijkt dat het voorbeeld die we in sectie 1 gezien hebben ook geconstrueerd kan worden uit een topologie.
De singleteton gecondenseerde verzameling is namelijk gelijk aan $\underline{\{*\}}$.

We zien nu dat alle voorbeelden van gecondenseerde verzamelingen die wij net gegeven hebben
een geconjugeerd analagon zijn van een topologie. Nu is het een interessante vraag of
het mogelijk is om iedere gecondenseerde verzameling te schrijven als een geconjugeerd
analagon van een topologie. Dit blijkt niet zo te zijn. Stel namelijk dat
$X=\underline{A}$ voor een topologische ruimte $A$. Dan zien we dat als
$X(\{*\}) = \{*\}$, dat $A= \{*\}$, dus geldt er voor alle pro-eindige $S$
dat $X(S) = \text{Cont}(S,\{*\}) = \{*\}$. Het is dus voldoende om te laten
zien dat er een gecondenseerde verzameling $X$ bestaat zodanig $X(\{*\})= \{*\}$ en
$X(S)\neq \{*\}$ voor een pro-eindige $S$.

\begin{example}
	We zullen nu een voorbeeld geven van een gecondenseerde verzameling dat
	niet gelijk is aan een geconstrueerd analagon van een topologie. We zullen
	hier $\underline{\R^{\text{Discr}}}(S)=\text{Cont}(S,\R^{\text{Discr}})$
	en $\underline{\R}(S)=\text{Cont}(S,\R)$ voor een
	willekeurige pro-eindige $S$ beschouwen als abelse groepen. Merk op dat
	$\R^{\text{Discr}}$ een grotere topologie is dan $\R$, dus zien we dat
	$\text{Cont}(S,\R^{\text{Discr}}) \subset \text{Cont}(S,\R)$. Dit betekent
	ook dat $\text{Cont}(S,\R^{\text{Discr}})$ een ondergroep is van 
	$\text{Cont}(S,\R)$. Dit maakt het mogelijk om de gecondenseerde verzameling
	$X$ te definiëren als
	\[X(S) :=
	\underline{\R}(S)/\underline{\R^{\text{Discr}}}(S)
	=\text{Cont}(S,\R)/\text{Cont}(S,\R^{\text{Discr}}).\]
	en 
	\[X(f):=[g]\mapsto [g\circ f]\]
	voor een afbeelding $f:T\to S$ tussen pro-eindige verzamelingen.
	We zien dan dat 
	$X(\{*\}) = \underline{\R}(\{*\})/\underline{\R^{\text{Discr}}}(\{*\})\cong\R/\R = \{*\}$.
	%Als er zou gelden dat $X=\underline{A}$ voor een topologische ruimt $A$, dan
	%zien we dat $A = \{*\}$, dus zou er moeten gelden dat $X(\N^\infty) = \{*\}$.
 	We weten dat een rij alleen
	convergeert in $\R^{\text{Discr}}$ als het op een gegeven moment constant
	wordt. We zien dus dat $\text{Cont}(\N^\infty, \R^\text{Discr}) \neq
	\text{Cont}(\N^\infty, \R)$ en daarom zien we dat
		\[X(\N^\infty) = \underline{\R}(\N^\infty)/\underline{\R^{\text{Discr}}}(\N^\infty)\neq\{*\}\]
	Hieruit volgt dat $X$ onmogelijk gelijk kan zijn aan een gecondenseerd analagon
	van een topologie. 

	%Dat $X$ een gecondenseerde verzameling is volgt vrij direct uit het
	%feit dat $\underline{\R}$ en $\underline{\R^{\text{Discr}}}$
	%gecondenseerde verzamelingen zijn. Voor eigenschap (i) zien we dat
	%\[X(\emptyset) =\underline{\R}(\emptyset) /\underline{\R^{\text{Discr}}}(\emptyset) =\{*\}/\{*\}= \{*\}\]
	%, voor eigenschap (ii) zien we dat voor willekeurige pro-eindige $S_1$ en $S_2$ geldt
	%\begin{align*}X(S_1\sqcup S_2) &=\underline{\R}(S_1\sqcup S_2) /\underline{\R^{\text{Discr}}}(S_1\sqcup S_2) \stackrel{[f]\mapsto ([f|_{S_1}], [f|_{S_2}]}{\cong}
	%\left(\underline{\R}(S_1)\times \underline{\R}(S_2)\right)/\left(\underline{\R}^{\text{Disc}}(S_1)\times \underline{\R}^{\text{Disc}}(S_2)\right)\\
	%&=
	%	\underline{\R}(S_1)/\underline{\R}^{\text{Disc}}(S_1)\times \underline{\R}(S_2)/\underline{\R}^{\text{Disc}}(S_2)=X(S_1)\times X_(S_2)\\
	%\end{align*}
	%Nu zullen we eigenschap (iii) bewijzen. Stel nu dat dat $f:T\to S$ een surjectieve
	%afbeelding is tussen gecondenseerde verzamelingen. Aangezien
	%$\underline{\R^{\text{Discr}}}$ een gecondenseerde verzameling is,
	%weten dat er voor een willekeurige verzameling $U$ en afbeelding
	%$m:U\to \underline{\R}(T)$ die voldoet aan $\pi_1^*\circ m=\pi_2^*\circ m$
	%er een unieke $h:U\to \underline{\R}(T)$ die voldoet aan $f^* \circ h = m$.
	%Zij nu $\tilde{m}:U\to X(T)$, dan zien we dat $\tilde{m}=[m]$ voor een
	%$m:U\to \underline{\R}(T)$. Definieer $\tilde{h} = [h]$ en. Dan zien we
	%dat $X(f)\circ \tilde{h} = \tilde{m}$. De uniciteit van $\tilde{h}$ volgt
	%uit de uniciteit van $h$.
	
 

\end{example}

\section{De topologische benaderingsfunctor}
We zullen nu bewijzen dat de gecondenseerde analogonsfunctor een links geadjugeerde heeft. Hiervoor moeten we een functor
construeren van Cond naar Top. We zagen in voorbeeld \ref{ASingle} dat $\underline{A}(\{*\}) = A$. Een goede
kandidaat voor de linksgeadjugeerde is dus $X\mapsto X(\{*\})$. Het enige probleem is dat deze functor naar
Set afbeelt en geen informatie bevat over de topologie. We zullen dus een topologie moeten definieren op
$X(\{*\})$

\begin{definition}
	We zullen nu de een functor $\bullet_{\text{Top}}: \text{Cond}\to
	\text{Top}$ defini\"eren.
	Voor een gecondenseerde verzameling $X$ defini\"eren we $X_{\text{Top}}$ als
	$X(\{*\})$ met
	de volgende quotienttopologie:
	\[\bigsqcup_{\beta \in X\left(\N^\infty\right)} \N^\infty \overset{\bigsqcup\beta_{\{*\}}}{\to} X(\{*\}).\]
	We kunnen dit ook formuleren als de kleinste topologie zodanig dat $\beta_{\{*\}}$ voor alle $\beta\in X(\N^\infty)$ continu is.
	Voor twee gecondenseerde verzamelingen $X$ en $Y$ en een natuurlijke transformatie $f:X\to Y$ definiëren we $f_{\text{Top}} = f_{\{*\}}$.
\end{definition}

We moeten nu alleen nog wel bewijzen dat de topologische benaderingsfunctor goed gedefinieerd is.

\begin{proposition}
Voor $f\in \text{Hom}_{\text{Cond}}(X,Y)$ geldt
dat $f_{\text{Top}}$ continu is. 
\end{proposition}
\begin{proof}
	Neem $f\in \text{Hom}_{\text{Cond}}(X,Y)$. Door de universele eigenschap van
	de quotienttopologie is $f_{\text{Top}}$ continu dan en slechts dan als $f\circ \bigsqcup \beta_{\{*\}}$ continu is. Als het ons lukt om een continue afbeelding 
	\[\nu: \bigsqcup_{\beta \in X(\N^\infty)}\N^\infty\to \bigsqcup_{\gamma \in Y(\N^\infty)}\N^\infty\]
	te definiëren zodat
% https://q.uiver.app/#q=WzAsNSxbMCwwLCJcXGJpZ3NxY3VwX3tcXGJldGEgXFxpbiBYKFxcTl5cXGluZnR5KX1cXE5eXFxpbmZ0eSJdLFszLDBdLFsyLDAsIlgoXFx7KlxcfSkiXSxbMiwyLCJZKHsqfSkiXSxbMCwyLCJcXGJpZ3NxY3VwX3tcXGdhbW1hIFxcaW4gWChcXE5eXFxpbmZ0eSl9XFxOXlxcaW5mdHkiXSxbMCwyLCJcXGJpZ3NxY3VwIFxcYmV0YV97XFx7KlxcfX0iXSxbNCwzLCJcXGJpZ3NxY3VwIFxcZ2FtbWFfe1xceypcXH19Il0sWzIsMywiZl97XFx0ZXh0e1RvcH19IiwxXSxbMCw0LCJcXG51IiwxXV0=
\[\begin{tikzcd}
	{\bigsqcup_{\beta \in X(\N^\infty)}\N^\infty} && {X(\{*\})} & {} \\
	\\
	{\bigsqcup_{\gamma \in Y(\N^\infty)}\N^\infty} && {Y(\{*\})}
	\arrow["{\bigsqcup \beta_{\{*\}}}", from=1-1, to=1-3]
	\arrow["\nu"{description}, from=1-1, to=3-1]
	\arrow["{f_{\text{Top}}}"{description}, from=1-3, to=3-3]
	\arrow["{\bigsqcup \gamma_{\{*\}}}", from=3-1, to=3-3]
\end{tikzcd}\]

	commuteert, dan zien we dat $f_{\text{Top}}$ continu is. Om de notatie
	makkelijker te maken zullen we de componenten van 
	$\bigsqcup_{\beta \in
	X(\N^\infty)}\N^\infty$ en $\bigsqcup_{\gamma \in
	X(\N^\infty)}\N^\infty$ respectievelijk indexeren
	als $\left(\left\{\N^\infty_\beta\right\}_{\beta \in X(\N^\infty)}\right)$%$\left(\left\{\N^\infty_\beta\right\}_{\beta \in X(\N^\infty)}\right\)$ 
	en 
	$\left(\left\{\N^\infty_\gamma\right\}_{\gamma \in
	Y(\N^\infty)}\right)$. Merk op dat $f\circ \beta \in
	\text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{\N^\infty},Y)$. Dus kunnen we $\nu$ 
	defin\"eren als
	\[\nu|_{\N^\infty_\beta}(n) = n\in \N^\infty_{f\circ \beta}.\]
	Om te laten zien dat $\nu$ continu is, is het voldoende om te laten zien dat
	$\nu|_{\N^\infty_\beta}$ continu is voor alle $\beta\in X(\N^\infty)$. We zien
	dat voor een open $U\in \bigsqcup_{\gamma \in X(\N^\infty)}\N^\infty$ geldt dat
	$\nu|_{\N^\infty_\beta}^{-1}(U) = \N^\infty_{f\circ \beta} \cap U \subset \N^\infty_{\beta}$. Daarnaast zien we dat
	\begin{align*}
	\left(\bigsqcup \gamma_{\{*\}} \circ \nu\right)|_{\N^\infty_\beta}
	&=\bigsqcup \gamma_{\{*\}} \circ \nu|_{\N^\infty_\beta}
	&&=\bigsqcup \gamma_{\{*\}} \circ (\N^\infty_\beta \ni n \mapsto n\in \N^\infty_{f\circ \beta})\\
	&=\left(f\circ \beta\right)_{\{*\}}
	&&=\left(f_{\{*\}}\circ \beta_{\{*\}}\right)\\
	&=\left(f_{\text{Top}}\circ \beta_{\{*\}}\right)
	&&=\left(f_{\text{Top}}\circ \bigsqcup \beta_{\{*\}}\right)|_{\N^\infty_\beta}
	\end{align*}
	dus zien we dat $\bigsqcup \gamma_{\{*\}} \circ \nu = f_\text{Top}\circ \bigsqcup \beta_{\{*\}}$ en dus is $f_\text{Top}$ continu.
\end{proof}






Het zal nu blijken dat de toplogische benaderingsfunctor een linksgeadjugeerde is van de gecondenseerde analogonsfunctor.

\begin{theorem}\label{LinksGeadj}
	De functor
	$$X\mapsto X(*)_{\text{top}}$$ is een linkse adjunctie van $A\mapsto \underline{A}$
\end{theorem}
\begin{proof}
	Hiervoor defini\"eren we de isomorfisme
	$$\alpha: \text{Hom}_{\text{Cond}}(-,\underline{-}) \to \text{Hom}_{\text{Top}}(-_{\text{top}},-)$$
	als
	$$\alpha_{X,Y}(f) = f_{\{*\}}.$$

\begin{description}
	\item[Continu\"iteit van $\alpha_{X,Y}(f)$:] 
		Als eerste zullen we bewijzen dat $f_{\{*\}}$ continu
		is voor alle $f\in \text{Hom}_{\text{Cond}}(-,\underline{-})$. Door de universele eigenschap
		van de quotient topologie is het voldoende om te bewijzen dat
		$f_{\{*\}}\circ (\coprod_{\beta\in X(S)} \beta_{\{*\}})$ continu is. Door de
		universele eigenschap van het co-product is het voldoende om te
		bewijzen dat $f_{\{*\}}\circ \beta_{\{*\}}$ continu is voor alle $\beta\in
		X(S)$. Door \ref{GevolgYoneda} zien we dat
		\[\text{Cont}(S,Y) = \underline{Y}(S) =
		\text{Hom}(\underline{S},\underline{Y})\]. We zien dat
		$f\circ \beta \in \text{Hom}(\underline{S},\underline{Y})$, dus we zien
		dat $f_{\{*\}}\circ \beta_{\{*\}} \in
		\text{Cont}(\underline{S},\underline{Y})$. Hierdoor zien dat
		$f_{\{*\}}$ continu is.
%\begin{equation}
%\begin{tikzcd}[row sep=huge]
%	X(\{*\})_{\text{Top}} \arrow[r,"f_{\{*\}}"] 
%	& Y\\
%	X(S) \arrow[r,"f_S"] \arrow[u,"X(*\mapsto s)"] & \underline{Y}(S) \arrow[u,"-\circ (*\mapsto s)"]
%\end{tikzcd}\label{commutatie}
%\end{equation}
%
%		Merk op dat $f_{\{*\}}$ aan \eqref{commutatie} moet voldoen voor alle $s\in S$. We zien dan dat
%%TODO: Make all singletons {*}
%		\begin{align}f_{\{*\}}\circ \beta(s) \simeq f_{\{*\}}\circ (*\mapsto \beta(s)) = f_{\{*\}} \circ(\beta\circ (*\mapsto s))
%			\simeq f_{\{*\}}(X(*\mapsto s)(\beta))\\
%			\intertext{De laatste gelijkheid volgt uit stelling ?. Vanwege \eqref{commutatie} zien we dat}
%			=f_S(\beta)\circ (*\mapsto s) = *\mapsto f_S(\beta)(s) \simeq f_S(\beta)(s)
%		\end{align}
%
%		We zien dat $f_{\{*\}}\circ \beta = f_S(\beta) \in \underline{Y}(S) = \text{Cont}(S,Y)$, dus
%		is $f_*\circ \beta$ continu. Hieruit volgt dat $f_*$ continu is.
	\item[$\alpha$ is een natuurlijke transformatie:]
		Om te bewijzen dat $\alpha$ natuurlijke transformatie is, moeten we aantonen dat de volgende diagram commuteert voor alle $f:X_1\to X_2$ en $g:Y_1\to Y_2$

%TODO: Vervang f in domein van alpha met h
\begin{equation}
\begin{tikzcd}[row sep=huge]
	\text{Hom}_{\text{Cond}}(X_1,\underline{Y_1}) \arrow[r,"\alpha_{X_1,Y_1}"] & \text{Hom}_{\text{Top}}(X_1(*),Y_1)\\
	\text{Hom}_{\text{Cond}}(X_2,\underline{Y_1}) \arrow[d,"g_* \circ -"] \arrow[r,"\alpha_{X_2,Y_1}"] \arrow[u,"- \circ f"] & \text{Hom}_{\text{Top}}(X_2(*),Y_1) \arrow[u,"-\circ f_{\{*\}}"] \arrow[d,"g \circ -"]\\
	\text{Hom}_{\text{Cond}}(X_2,\underline{Y_2}) \arrow[r,"\alpha_{X_2,Y_2}"]  & \text{Hom}_{\text{Top}}(X_2(*),Y_2) 
\end{tikzcd}\label{commutatieAlpha}.
\end{equation}

Zij $h\in \text{Hom}_{\text{Cond}}(X_2,\underline{Y_1})$, dan moeten we bewijzen dat

		\begin{align}
			h_{\{*\}}\circ f_{\{*\}} &= (h\circ f)_{\{*\}}\label{commbov}\\
			\intertext{en dat}
			g\circ h_{\{*\}} &= (g_*\circ h)_{\{*\}}.\label{commond}
		\end{align}

	Hierbij is \eqref{commbov} per definitie waar en \eqref{commond} volgt uit
	het feit dat

		$$(g_*)_{\{*\}} = (*\mapsto y_1) \mapsto (*\mapsto g(y_1)) \simeq y_1 \mapsto g(y_1) = g.$$

		
	\item[Bijectiviteit van $\alpha$:] 
		Om te bewijzen dat $\alpha$ bijectief is, moeten we bewijzen
		dat $\alpha_{X,Y}$ bijectief is voor alle
		$X,Y$. We defini\"eren $\alpha_{X,Y}$, waarbij $S$ een pro-eindige
		verzameling is, $\beta\in X(S)$ en $s\in S$ als volgt:

		$$\alpha_{X,Y}^{-1}(f)_S(\beta)(s) := f\circ X(*\mapsto s)(\beta).$$

		Nu zullen we aantonen dat $\alpha_{X,Y}^{-1}$ daadwerkelijk de
		inverse is van $\alpha_{X,Y}$. We zien dat

		\begin{align}
		\left(\alpha_{X,Y} \circ \alpha_{X,Y}^{-1}\right)(g)(\beta) &= \alpha_{X,Y}^{-1}(g)_{\{*\}}(\beta)
		=*' \mapsto g \circ X(*\mapsto *')(\beta)
		\simeq  g \circ X(\text{Id}_{\{*\}})(\beta)\\
			&= g\circ \text{Id}_{X(\{*\})}(\beta)=g(\beta).
		\end{align}

		De omgekeerde richting is wat lastiger te bewijzen. Aangezien
		voor $f\in \text{Hom}_{\text{Cond}}(X,\underline{Y})$ geldt dat
		$f$ een morfisme is tussen functoren, dus voldoet het aan commutatie diagram 
		\eqref{commutatie}.

		$$f_S(\beta)(s) \simeq f_S(\beta) \circ (*\mapsto s) = (f_{\{*\}} \circ X(*\mapsto s))(\beta)
		=(\alpha^{-1}_{X,Y}\circ \alpha_{X,Y})(f)_S(\beta)(s)$$
\end{description}

%%\begin{equation}
%%\begin{tikzcd}[row sep=huge]
%%	X(*) \arrow[r,"f_*"] 
%%	& Y\\
%%	X(S) \arrow[r,"f_S"] \arrow[u,"X(*\mapsto s)"] & \underline{Y}(S) \arrow[u,"-\circ (*\mapsto s)"]
%%\end{tikzcd}\label{commutatie}
%%\end{equation}
%
%		
%		%Stel dat $\alpha_{X,Y}(h) = \alpha_{X,Y}(h')$ voor een $h,h'\in
%		%\text{Hom}_{\text{Cond}}(X,\underline{Y})$. 
%\end{description}
%	{\color{green} Eerst definieer ik $\alpha$. }
%
%	{\color{orange} Ik laat zien dat $\alpha_{X,Y}(f)$ altijd continu is.}
%
%	{\color{green} Ik laat zien dat $\alpha$ een wel-gedefinieerde morfisme is. Hiervoor moet ik laten
%	zien dat de diagrammen uit hoofdstuk 8 van Taelman commuteren}
%
%	{\color{green} Ik laat zien dat $\alpha$ bijectief is}
\end{proof}

\section{Sequentiele ruimtes}

\begin{definition}
	Zij $X$ een topologische ruimte en $A\subset X$. Dan is $A$ \textbf{sequentieel gesloten} dan en slechts als voor elke convergerende rij $(x_n)_{n\in \N}\subset A$ geldt
	dat alle limietpunten zich in $A$ bevinden.
\end{definition}

Hieruit is het mogelijk om de topologische eigenschap van een sequentiele ruimte te
defini\"eren.

\begin{definition}\cite{Seq}%TODO: aanpassen
	Een topologische ruimte $X$ is \textbf{sequentieel} als voor alle $A\subset X$ geldt
	dat $A$ gesloten is dan en slechts dan als $A$ sequentieel gesloten is.
\end{definition}

Het is ook mogelijk om een willekeurige topologische ruimte sequentieel te maken door
alle sequentieel gesloten verzamelingen gesloten te maken. 
\begin{definition}
	Voor een toplogische ruimte $X$ definiëren we de
	\textbf{sequentialisatie} $x^{\text{Seq}}$, waarbij $A\subset
	x^{\text{Seq}}$ gesloten is dan en slechts dan als $A$ sequentieel
	gesloten is in $X$.
\end{definition}
We zullen nu zien dat dit een
nieuwe topologie oplevert.
\begin{proposition}
	De sequentialisatie van een willekeurige topologische ruimte $X$ is een goed gedefinieerde topologie.
\end{proposition}
\begin{proof}Zij $X$ een topologische ruimte. We laten zien dat $X^\text{Seq}$ ook een
	topologische ruimte is.\
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Dat $\emptyset$ en $X$ sequentieel gesloten zijn
	is triviaal. 

	\item Stel nu dat $(A_i)_{i\in I}\subset X$ een collectie sequentieel
	gesloten verzamelingen zijn. Neem nu een convergerende rij $(x_n)_{n\in
	\N}\in \bigcap_{i\in I}A_n$. Aangezien $A_i$ voor alle $i\in I$ sequentieel
	gesloten is
	zien we dat het alle limietpunten van $(x_n)_{n\in \N}$ bevat. Dus zien 
	we dat $\bigcap_{i\in I}A_n$ alle limietpunten van $(x_n)_{n\in \N}$
	bevat en daardoor zien we dat $\bigcap_{i\in I}A_n$ sequentieel gesloten is.

	\item Zij nu $A_1$ en $A_2$ twee sequentieel gesloten verzamelingen. Stel nu dat
	$(x_n)_{n\in \N}\subset A_1\cup A_2$. We weten zonder
	verlies van algemeenheid dat $(x_n)_{n\in \N}$ een deelrij $(x_{n_k})_{k\in \N}
	\in A_1$
	heeft. Aangezien $A_1$ sequentieel gesloten is en omdat
	$(x_n)_{n\in \N}$ en $(x_n)_{n\in \N}$ dezelfde
	limietpunten hebben zien we dat alle limietpunten bevat zijn in $A_1$
	en dus ook in $A_1\cup A_2$. We kunnen dus concluderen dat $A_1\cup A_2$
	sequentieel gesloten is.
	\end{enumerate}
\end{proof}

Uit de topologie weten we dat elke gesloten verzameling sequentieel gesloten is. Ook is het zo dat in
eerst-aftelbare ruimtes een sequentieel gesloten verzameling altijd gesloten is. Hieruit
volgt dat alle eerst-aftelbare ruimtes sequentiele ruimtes zijn. Een voorbeeld van een
een ruimte dat niet sequentieel is, is de co-aftelbare verzameling. Dit zou betekenen
dat de co-aftelbare verzameling sequentieel gesloten verzamelingen bevat die niet gesloten
zijn. Sterker nog, we zullen zien dat in de co-aftelbare ruimte alle verzamelingen
sequentieel gesloten zijn.

\begin{example}\label{proAllSeqClosed}
	Zij $X$ een verzameling met de co-aftelbare topologie. Dan geldt voor
	alle $A\subset X$ dat $A$ sequentieel gesloten is.
	Zij $(x_n)_{n\in \N}\subset A$ een convergente rij en $x$ zijn limiet.
	We zien dat $X\backslash \{x_n | x_n\neq x, n\in \N\}$ een open omgeving
	is van $x$. Dus bestaat er een $N\in \N$ zodat voor alle $n'\geq N$ geldt
	dat $x_n\in X\backslash \{x_n | x_n\neq x, n\in \N\}$, oftewel dat $x_{n'} \neq x_n$ voor alle $n\in \N$ waarbij $x_n\neq x$. Dus moet
	er gelden dat $x = x_{n'}$ voor alle $n\geq N$. We zien nu dus dat $x\in A$.
\end{example}

Sequentiele topologieën zijn belangrijk wanneer we praten over gecondenseerde
verzamelingen die geïnduceerd zijn door topologie\"en. Het blijkt namelijk zo te zijn
dat $\underline{A}_{\text{Top}}$ gelijk is aan $A$ in Top dan en slechts dan
als $A$ sequentieel is. Het is ook mogelijk om nog een sterkere uitspraak te geven. Het
blijkt namelijk zo te zijn dat $\underline{A}_{\text{Top}}$ gelijk is aan de topologie van sequentiele gesloten verzamelingen van $A$, oftewel $\underline{A}_{\text{Top}}=A^{\text{Seq}}$.

\begin{theorem}\label{thClosedIsSeq}
	Zij $A$ een topologische ruimte. Dan geldt er dat $\underline{A}_{\text{Top}}=A^{\text{Seq}}$.
\end{theorem}

Voordat we dit kunnen bewijzen moeten we eerst wat lemma's bewijzen.

\begin{lemma}\label{lemSeqCPreGes}
	De volgende uitspraken zijn equivalent:
	\begin{enumerate}
		\item $B\subset A$ is sequentieel gesloten.
		\item Voor iedere continue afbeelding $f:\N^\infty \to A$ geldt dat
			$f^{-1}(B)$ gesloten is.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}\

	\begin{description}
		\item[(1) $\implies$ (2)] Stel dat $B\subset A$ sequentieel gesloten is
			en zij $f:\N^\infty\to A$ continu. Zeggen dat $f:\N^\infty\to A$ continu is, is equivalent aan zeggen dat $(f(n))_{n\in \N}$ convergeert naar $f(\infty)$. Nu kijken we naar twee gevallen:
			\begin{description}
				\item[$f(\infty)\in B$]
					Stel eerst dat $f(\infty)\in B$. Dan zien we dat
					dat $\infty \in f^{-1}(B)$ en dus geldt er dat
					het complement van $f^{-1}(B)$ alleen bestaat
					uit elementen van $\N$, dus is het
					complement open en $f^{-1}(B)$ dus
					gesloten
				\item[$f(\infty)\notin B$]
					Stel nu dat $f(\infty)\notin B$. Stel nu dat
					$f^{-1}(B)$ oneindig veel elementen heeft. Dan
					zou dit betekenen dat $(f(n))_{n\in f^{-1}(B)}$
					een rij is die volledig in $B$ bevat is. Aangezien
					$B$ sequentieel gesloten is mag
					$(f(n))_{n\in f^{-1}(B)}$ niet naar een element
					buiten $B$ convergeren. Dit is
					een tegenspraak met dat
					$f(\infty)\notin B$ limiet is van
					$(f(n))_{n\in f^{-1}(B)}$. Dit betekent dat
					$f^{-1}(B)\subset \N$ eindig is en dus gesloten.
			\end{description}
		\item[$\neg$(1) $\implies$ $\neg$(2)] Stel nu dat $B\subset A$ niet sequentieel
			gesloten is. Dit betekent dat er een rij $(x_n)_{n\in
			\N}\subset B$ bestaat waarbij $\lim_{n\to \infty} x_n \in
			A\backslash B$. Definieer nu $f:\N^\infty \to A$ als
			$f(n) = x_n$ voor alle $n\in \N$ en $f(\infty) =
			\lim_{n\to \infty} x_n$. Aangezien $(f(n))_n\in \N$
			naar $f(\infty)$ convergeert zien we dat $f$ continu is.
			Tegelijkertijd zien we dat $f^{-1}(B) = \N$ en dus is $f^{-1}(B)$
			niet gesloten.

	\end{description}
\end{proof}

Nu kunnen we stelling \ref{thClosedIsSeq} gaan bewijzen
%[Bewijs van stelling \ref{thClosedIsSeq}]
\begin{proof}[Bewijs van stelling \ref{thClosedIsSeq}]
		Aangezien $\underline{A}_{\text{Top}}$ de
		volgende quoti\"ent toplogie heeft:
		\[\bigsqcup_{f\in \text{Cont}(\N^\infty, A)} \N^\infty
		\overset{\bigsqcup f}{\to} A\]
		is zeggen dat $B\subset \underline{A}_{\text{Top}}$
		gesloten is equivalent aan zeggen dat
		$\left(\bigsqcup_{f\in \text{Cont}(\N^\infty, A)}
		f\right)^{-1}(B)$ gesloten is. Dit is weer equivalent aan
		zeggen dat $f^{-1}(B)$ gesloten is voor alle $f\in
		\text{Cont}(\N^\infty, A)$. Wegens lemma
		\ref{lemSeqCPreGes} is dit equivalent met zeggen dat $B\subset A$
		sequentieel gesloten is. We zien dat de gesloten verzamelingen
		overeenkomen met de sequentieel gesloten verzamelingen, dus
		kunnen we zeggen dat $\underline{A}_{\text{Top}}=A^{\text{Seq}}$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{cor:AStarTopIsA}
	Zij $A$ een topologische ruimte. Dan geldt er dat
	$\underline{A}_{\text{Top}}=A$ dan en slechts dan als
	$A$ een sequentiele ruimte is.
\end{corollary}
\begin{proof}
	Zeggen dat $\underline{A}_{\text{Top}}=A$ is equivalent aan zeggen dat
	$A^\text{Seq} = A$.
	Dit is weer equivalent aan dat $A$ een sequentiele ruimte is.
\end{proof}

\begin{example}
	Voor elke verzameling $X$ noteren we $X^{\text{cc}}$ als $X$ met de co-aftelbare topologie en
	$X^{\text{Dis}}$ als $X$ met de discrete topologie. Er geldt dan dat
	\[\underline{X^{\text{cc}}}_{\text{Top}} = (X^\text{cc})^\text{Seq} = X^{\text{Dis}}.\]
	De laatste gelijkheid volgt uit voorbeeld \ref{proAllSeqClosed}.
\end{example}

Als we nu Seq definiëren als de volle deelcategorie van Top van alle sequentie ruimten. Dan geldt er dat de restrictie van de gecondenseerde analagon functor op Seq fully faithfull is. Om dit te bewijzen zullen we de volgende uitspraak bewijzen:
\begin{theorem}
	De volgende twee uitspraken zijn equivalent voor alle topologische ruimten $X$:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
	Voor alle topologische ruimten $Y$ geldt dat de volgende afbeelding een isomofisme is:
	\begin{align*}
		\text{Hom}_{\text{Top}}(X,Y) &\to \text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{X},\underline{Y})\\
		f & \mapsto f_*.
	\end{align*}
		\item $X$ is een sequentiele ruimte
	\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
	Door stelling \ref{LinksGeadj} weten we dat
	$\text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{X},\underline{Y})$ isomorf is aan
	$\text{Hom}_{\text{Top}}(\underline{X}_\text{Top},Y)$. Door gevolg
	\ref{cor:AStarTopIsA} weten we dat
	$\text{Hom}_{\text{Top}}(\underline{X}_\text{Top},Y)$ isomorf is aan
	$\text{Hom}_{\text{Top}}(X^{\text{Seq}},Y)$. We krijgen nu het volgende commutatie diagram:
% https://q.uiver.app/#q=WzAsMyxbMCwwLCJcXHRleHR7SG9tfV97XFx0ZXh0e1RvcH19KFgsWSkiXSxbMiwwLCJcXHRleHR7SG9tfV97XFx0ZXh0e0NvbmR9fShcXHVuZGVybGluZXtYfSxcXHVuZGVybGluZXtZfSkiXSxbMiwyLCJcXHRleHR7SG9tfV97XFx0ZXh0e1RvcH19KFhee1xcdGV4dHtTZXF9fSxZKSJdLFswLDEsImZcXG1hcHN0byBmXyoiXSxbMSwyLCJcXGFscGhhX3tcXHVuZGVybGluZXtYfSxZfSJdLFswLDIsIlxcaW90YSIsMl1d
\[\begin{tikzcd}
	{\text{Hom}_{\text{Top}}(X,Y)} && {\text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{X},\underline{Y})} \\
	\\
	&& {\text{Hom}_{\text{Top}}(X^{\text{Seq}},Y)}
	\arrow["{f\mapsto f_*}", from=1-1, to=1-3]
	\arrow["\iota"', from=1-1, to=3-3]
	\arrow["{\alpha_{\underline{X},Y}}", from=1-3, to=3-3]
\end{tikzcd}\]

Merk op dat aangezien $\alpha_{\underline{X},Y}$  bijectief is, het voldoende
	is om te laten zien dat $\iota$ bijectief is. We zullen nu laten zien
	dat $\iota$ de inclusie is. We zien namelijk dat
	\[\iota(f)(x) \cong \alpha_{\underline{X},Y}(f_*)(*\mapsto x) = f\circ (*\mapsto x) = *\mapsto f(x) \cong f(x),\]
	dus is $\iota$ inderdaad de inclusie. Nu zullen we laten zien dat uitspraken
	(i) en (ii) equivalent zijn aan elkaar:
	\begin{description}
		\item[(i)$\implies$(ii)]
			Stel dat $f\mapsto
			f_*:\text{Hom}_{\text{Top}}(X,Y) \to
			\text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{X},\underline{Y})$
			bijectief is voor alle topologische ruimte $Y$. Dan
			weten we dat $\iota$ ook bijectief is. Kies nu $Y=
			X^\text{Seq}$. We weten dat $\text{Id}_X\in
			\text{Hom}_{\text{Top}}(X^{\text{Seq}},X^{\text{Seq}})$. Aangezien
			$\iota$ bijectief is zien we dat $\text{Id}_X\in
			\text{Hom}_\text{Top}(X,X^{\text{Seq}})$. We zien dus
			dat alle sequentieel gesloten verzamelingen van $X$
			gesloten zijn in $X$, dus moet $X$ sequentieel zijn.
		\item[(ii)$\implies$(i)] Stel nu dat $X$ sequentieel is,
			oftewel dat $X=X^\text{Seq}$. We zien dan dat
			voor we willeurige $Y$ geldt dat de inclusie 
			$\iota = \text{Id}_{\text{Hom}_{\text{Top}}(X,Y)}$
			en dus is $\iota$ een isomorfisme, waaruit volgt dat $f\mapsto f_*$
			ook een isomorfisme is.
	\end{description}
\end{proof}

Hieruit volgt direct dat de gecondenseerde analogonsfunctor fully faithfull is
op alle sequentiele topologieën.

\begin{corollary}
	De gecondenseerde analogonsfunctor met restrictie op de categorie van
	sequentiele topologieën is fully faithfull.
\end{corollary}
\begin{proof}
	Zij $X,Y$ twee sequentiele topologieën. Dan zien wegens stelling 2.38
	dat
	\begin{align*}
		\text{Hom}_{\text{Top}}(X,Y) &\to \text{Hom}_{\text{Cond}}(\underline{X},\underline{Y})\\
		f & \mapsto f_*
	\end{align*}
	bijectief is.
\end{proof}

%\begin{corollary}
%	$A\mapsto \underline{A}$ is fully faithfull als we alleen kijken naar sequentiele ruimtes.
%\end{corollary}



\end{document}