\documentclass{beamer}
%\newtheorem{theorem}{Stelling}[chapter]
%\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
%\newtheorem{corollary}[theorem]{Gevolg}
%\newtheorem{proposition}[theorem]{Propositie}
%
%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}[theorem]{Definitie}
%\newtheorem{example}[theorem]{Voorbeeld}
%\newtheorem{remark}[theorem]{Opmerking}

\usepackage[dutch]{babel}
\newcommand{\T}{\mathcal{T}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\todo}{\color{red}Moet nog geschreven worden}

%For beamer
\uselanguage{Dutch}
\languagepath{Dutch}

\begin{document}

\title{Gecondenseerde verzamelingen}
\author{Thomas van Maaren}


\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{definition}
    Een functor $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ is \textbf{fully faithfull}
    als voor willekeurige $X$ en $Y$ in $\mathcal{C}$ de afbeelding
    \[\text{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y) \to \text{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,FY)\]
    bijectief is.
  \end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{definition}
    Een \textbf{pro-eindige} verzameling is een topologische ruimte die voldoet aan de
    volgende eigenschappen:
\begin{itemize}
	\item Hausdorff
	\item Compact
	\item Metriseerbaar
	\item Totaal onsamenhangend
\end{itemize} 
  \end{definition}
  \begin{definition}
    Een topologische ruimte is \textbf{Totaal onsamenhangend}, als alle samenhangende
    deelverzamelingen singletons zijn.
  \end{definition}
Voorbeelden van \textbf{Pro-eindige} verzamelingen zijn:
\begin{itemize}
	\item $\emptyset$
	\item $\{*\}$
	\item $\N^\infty$
	\item De Cantorverzameling
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\end{frame}
\begin{frame}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{definition}
	Een \textbf{gecondenseerde verameling} is een functor 
	\[X:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\to \text{Set}.\] 
	{\color{red} Het moet voldoen aan drie eigenschappen}
%	\begin{enumerate}[(i)]
%		\item Een gecondenseerde verzamelingen stuurt de lege verzamelingen
%			naar een singleton:
%			\[X(\emptyset) = \{*\}.\]
%		\item 
%			Definieer de functoren \[F,G:\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}}\times\text{Pro}_{\N}(\text{fin})^{\text{op}} \to \text{Set}\] waarbij \[F(S_1,S_2) = X(S_1 \sqcup S_2) \text{ en } G(S_1,S_2) = X(S_1)\times X(S_2).\]
%			Dan moet er gelden dat $\eta: F\to G$ gedefinieerd als
%			$\eta_{(S_1,S_2)}:=(X(\iota_1),X(\iota_2))$, waarbij $\iota_1$ en
%			$\iota_2$ de inclusie zijn van respectievelijk $S_1\to S_1\sqcup S_2$ en $S_2\to S_1\sqcup S_2$ een isomorfisme is.
%		\item Voor een willekeurige surjectie $f:T\to S$ geldt dat
%			\[X(S) \overset{X(f)}{\to} X(T) \underset{X(\pi_2)}{\overset{X(\pi_1)}{\rightrightarrows}} X(T\times_S T)\]
%			een equalizer is. Aangezien $T$ en $S$ topologische ruimtes zijn kunnen we zeggen dat \[T\times_S T = \{(t_1,t_2)\in T\times T \mid f(t_1)=f(t_2)\}.\]
%	\end{enumerate}
\end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{definition}
	Zij $X$ een topologische ruimte en $A\subset X$. Dan is $A$ \textbf{sequentieel gesloten} dan en slechts als voor elke convergerende rij $(x_n)_{n\in \N}\subset A$ geldt
	dat alle limietpunten zich in $A$ bevinden.
\end{definition}
\begin{definition}
	Een topologische ruimte $X$ is \textbf{sequentieel} als voor alle $A\subset X$ geldt
	dat $A$ gesloten is dan en slechts dan als $A$ sequentieel gesloten is.
\end{definition}
\begin{definition}
	Voor een toplogische ruimte $X$ definiëren we de
	\textbf{sequentialisatie} $x^{\text{Seq}}$, waarbij $A\subset
	x^{\text{Seq}}$ gesloten is dan en slechts dan als $A$ sequentieel
	gesloten is in $X$.
\end{definition}
\end{frame}


\end{document}