\documentclass{article}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\title{Compacte ruimtes} \author{Thomas van Maaren}
\begin{document}

\maketitle


In de topologie zijn we heel vaak bezig met kijken of twee verschillende ruimtes
homeomorf zijn. Ook is het belangrijk om te kunnen zien wanneer twee ruimtes niet
homeomorf aan elkaar zijn. Zo zijn het gesloten interval $[0,1]$ en
de re\"ele getallen niet homeomorf. In velen van deze gevallen kan compactheid ons hiermee helpen.
Compactheid is namelijk een topologische eigenschap. Dit betekent dat als
twee ruimtes homeomorf zijn, dat beide ruimtes allebei compact moeten
zijn of allebei niet. Later in deze tekst zullen we zien dat $[0,1]$ compact is en de
re\"ele getallen dat niet zijn. Daarom kunnen ze onmogelijk homeomorf zijn.
 
Ook hebben compacte verzamelingen nog andere interessante eigenschappen. Stel namelijk
dat een continue functie een compact domein heeft en een hausdorff co-domein.
Dan geldt er dat de inverse ook continu is.

Voordat we hier naar kijken
moeten we eerst compacte ruimtes defini\"eren. Wat zal blijken is dat het
vanuit deze definitie vrij moeilijk te zien is welke ruimtes compact zijn en welke niet.
Daarom zullen we ook nog wat eigenschappen bewijzen over compacte ruimtes waardoor het
makkelijker te zien is of een ruimte compact is. Dit zal ons een karakterisatie
geven van compacte ruimtes in de re\"ele getallen, waardoor het vrijwel meteen te zien is
of een ruimte compact is of niet.

\section{De definitie van compactheid}

Voordat we compacte ruimtes kunnen defini\"eren moeten we eerst kijken naar open dekkingen.
We defini\"eren een open dekking als een collectie opens die samen de hele verzameling
vormt. Bijvoorbeeld voor $[0,1]$ is $\{[0,2/3), (1/3,1]\}$ een open dekking omdat
alle twee de verzamelingen open zijn en ze samen $[0,1]$ vormen. We noemen een ruimte
compact als we uit alle open dekkingen een eindig deelcollectie kunnen nemen die ook een
open dekking is. 

Op deze manier zien we dat alle eindige verzamelingen compact zijn, 
aangezien elke open dekking daarop eindig is. Ook kunnen we zien dat de re\"ele getallen
niet compact is. Hiervoor moeten we een open dekking vinden van de re\"ele getalen die
geen eindige deelcollectie heet die all re\"ele getallen dekt. Kijk bijvoorbeeld naar
de collectie van begrensde open verzamelingen. Stelt dat we van deze collectie een
eindige deelcollectie nemen. Aangezien het alleen uit begrensde verzamelingen
bestaat is het ook begrensd kan het niet alle re\"ele getallen overdekken.
We zien dus dat onze collectie geen eindige deelcollectie die een open dekking vormt en daardoor
kunnen we concluderen dat de re\"ele getallen niet compact zijn. Sterker nog: elk onbegrensde
verzameling in de re\"ele getallen is niet compact. Neem net als bij re\"ele getallen
de collectie van begrensde opens. Een eindige deelcollectie hiervan heeft een
begrensde vereniging en dus kan het nooit de hele ruimte bevatten.

Het blijkt zo te zijn dat er in de re\"ele getallen een hele eenvoudige
karakterisatie bestaat van welke verzamelingen compact zijn en welke niet. Er
geldt namelijk dat een verzameling alleen compact is als het begrensd en
gesloten is. Dit rijmt ook met onze eerdere observatie dat de re\"ele getallen
niet compact zijn.

\section{Eigenschappen waar compacte verzamelingen aan voldoen}

Vaak is het erg moeilijk om uit de definitie te zien of een ruimte compact is of niet. Om dit makkelijker
te maken kan het helpen om wat eigenschappen van topologische ruimten te bewijzen. We hadden al gezien dat
onbegrensde deelverzamelingen van re\"ele getallen niet compact kunnen zijn, dus weten we dat alle compacte
verzamelingen in de re\"ele getallen begrensd zijn.

\subsection{Behoud onder homeomorfisme}

Compactheid is een topologische eigenschap. Stel namelijk dat A en B twee homeomorfe topologische ruimten zijn
en dat A compact is. We zullen nu laten zien dat B ook compact is. Stel namelijk dat we een open dekking
hebben van B. Dan kunnen we deze dekking via de homeomorfisme naar A sturen. Doordat we weten dat A compact is
kunnen we hier een eindige deelcollectie van nemen die heel A dekt. Als we deze weer terug sturen naar B via de
homeomorfisme zien we dat we een eindige deelcollectie hebben die heel B dekt, dus zien we dat $B$ ook compact moet zijn

\subsection{Gesloten deelverzamelingen zijn compact}

Nog een interessante eigenschap is dat elke gesloten verzameling in een compacte ruimte compact is. Stel namelijk
dat X compact is en dat A een gesloten deelruimte is van X. Stel nu dat we een open dekking hebben van A en daar
het complement van A aan toevoegen. Deze is open omdat het complement van een gesloten verzameling open is. Nu
hebben we dus een open dekking van X. Aangezien X compact is, bestaat er een eindige deelcollectie hiervan die
heel X dekt en dus ook A. Dus zien we dat A compact moet zijn.

\subsection{Gesloten in een hausdorff ruimte}
Als laatste is het ook zo dat elke compacte ruimte in een hausdorff ruimte gesloten is. Stel namelijk dat
X hausdorff is en A een compacte deelruimte is van X. Neem nu een punt $x\in X\backslash A$.
Doordat X hausdorff is weten we dat voor alle punten y in A er open omgevingen van x en y bestaan die elkaar niet
overlappen. Als we al deze open omgevingen bekijken van de verschillende y hebben we een open dekking van A en omdat
A compact is moet er een eindige deelcollectie hiervan bestaan die heel A dekt. Voor al deze opens bestaat er een corresponderende
open omgeving van x die niet overlapt, dus als we nu de doorsnede nemen van al deze opens van x krijgen we een open
die helemaal buiten de eindige dekking van A ligt en dus ook buiten A zelf. We zien nu dus dat voor elk punt buiten
A er een open omgeving is die buiten A ligt en als we hier de vereniging van nemen zien we dat het complement van A
open is, dus is A gesloten.

\section{Karakterisatie van compacte verzamelingen in de re\"ele getallen}

We weten dat $\mathbb{R}$ een hausdorff ruimte is. Dus weten we dat alle compacte verzamelingen gesloten zijn. Ook weten
we dat alle compacte verzamelingen in de re\"ele getallen begrensd zijn, dus zijn alle compacte verzamelingen in de re\"ele getallen
gesloten en begrensd.

Nu is het een interessante vraag of alle gesloten en begrensde verzamelingen compact zijn. Ten eerste lijkt het
misschien moeilijk om te zien of dit waar is of niet. Om het makkelijker voor ons te maken kunnen we naar de eigenschappen kijken die
we eerder bewezen hebben. Stel nu dat $A$ gesloten en begrensd is en er een compacte verzameling $B\supset A$ bestaat, dan weten
we door de eigenschappen dat $A$ compact moet zijn. Aangezien $A$ begrensd is kunnen we zeggen dat $B=[a,b]$ waarbij $a$ kleiner is
dan alle elementen van $A$ en $b$ groter is dan alle elementen van $A$. Nu hoeven we dus alleen te bewijzen dat $[a,b]$ compact is. Hiervoor
kunnen we nog een andere eigenschap gebruiken die we bewezen hebben. Aangezien $[a,b]$ homeomorf is aan $[0,1]$ kunnen we zeggen dat als
$[0,1]$ compact is, dat $[a,b]$ dat ook moet zijn.

\subsection{Compactheid van $[0,1]$}

We hoeven we nu nog alleen te bewijzen dat $[0,1]$ compact is. Stel namelijk dat we
een open dekking hebben van $[0,1]$. We willen nu laten zien dat er een eindige deelcollectie
hiervan is die ook heel $[0,1]$ dekt. Om dit te doen kijken we naar alle $a$ in
$[0,1]$ waarbij $[0,a]$ gedekt word door een eindige deelcollectie. We weten zowiezo
dat $0$ hieraan voldoet aangezien $[0,0]$ \'e\'en punt is. Daarnaast weten we dat $a$ maximaal 1 kan zijn.
We kunnen nu het suprenum nemen van al deze a's en die noemen we b. Stel nu dat $b=1$. Dan kunnen we
een open verzameling $U$ nemen uit onze collectie waar $1$ in bevat zit en omdat $U$ open is moet er een $c<1$ bestaan zodat $[c,1]\in U$. Omdat $c<b$ weten we dat $[0,c]$ helemaal gedekt wordt door een eindige deelcollectie van
onze dekking. Als we hier $U$ aan toevoegen zien we dat we een eindige open dekking hebben van heel $[0,1]$
en dus is het compact. Het is nu alleen nog de vraag wat er gebeurt as $b<1$. In dit geval hebben we geen
eindige deelcollectie en dus kunnen we niet aantonen dat $[0,1]$ compact is. Wat blijkt is dat dit geval zich nooit
voordoet. Stel namelijk dat $b<1$, dan bestaat er weer een open in onze collectie $U$ en $c < b <d$
zodat $[c,d]\subset U$. Opnieuw geldt er dat $[0,c]$ gedekt werd door een eindige deelcollectie van
onze dekking en opnieuw kunnen we hier $U$ aan toevoegen. Deze keer zien we dat
$[0,d]$ helemaal gedekt woord hierdoor. Onthoud dat we $b$ hadden gedefinieerd als het suprenum van alle
$a$ zodat $[0,a]$ gedekt word door een eindige deelcollectie. Aangezien $d$ hier aan voldoet moet
$b\geq d$ en dus hebben we een tegenspraak. Hieruit zien we dus dat $b$ altijd 1 moet zijn en dus is $[0,1]$ compact.

\section{Inverse van continue functies}
In de topologie zijn we vaak bezig met homeomorfismes opstellen. Onthoud dat een functie is
homeomorfisme is als het bijectief is, continu en de inverse continu is. Het
laaste hiervan is vaak lastig aan te tonen, omdat het erg moeilijk kan
zijn om voor een functie een inverse te bedenken en daarvan ook nog te moeten bewijzen dat het continu is.
Gelukkig hoeft dit niet altijd. Stel namelijk dat het een functie is van een compacte ruimte naar een hausdorff
ruimte, dan weten we dat de inverse continu is wanneer de functie zelf continu is. Dit kunnen we op de volgende
manier zien. Stel we hebben namelijk een open in het domein dan is het complement hiervan gesloten. Zoals
we eerder zagen zijn alle gesloten verzamelingen in een compacte ruimte compact. Daarnaast weten we dat
continue functies compacte verzamelingen sturen naar compacte verzamelingen, dus stuurt onze functie het complement van een open naar een compacte verzameling. Doordat het co-domein hausdorff is weten we nu dat dat deze
verzameling gesloten is en dus is het complement open. We zien dus dat opens naar opens gestuurd worden.

\section{Tot Slot}

In deze tekst hebben we gezien wat de definitie is van een compacte ruimte. Daarnaar bewezen we vier belangrijke
eigenschappen van topologische ruimten. Namelijk dat in de re\"ele getallen een compacte ruimte altijd begrensd,
 dat het een topologische eigenschap is, dat alle gesloten deelverzamelingen van compacte ruimtes compact zijn
 en dat alle compacte ruimtes in hausdorff ruimtes gesloten zijn. Met deze eigenschappen konden we bewijzen dat
 in de re\"ele getallen,
 compactheid equivalent is aan het gesloten en begrensd zijn van een verzameling. Als laatste zagen we ook
 dat compactheid ons kon helpen met het bewijzen dat de inverse van een functie continu is.

\end{document}
